,则这四个点共圆如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:E,F,G,H四个点在以O为圆心的同一个圆上分析指导:利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半,再利用菱形的四边相等即可证出。(和为180°),则这个四边形的四个点共圆若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°,则点A、B、C、D四点共圆已知:四边形ABCD中,∠A+∠C=180° 求证:四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆证明:用反证法 过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,则C在圆外或圆内,若C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°, ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。,则这个四边形的四个点共圆若∠B=∠CDE,则A、B、C、D四点共圆证法同上例如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F点。求证:C、D、E、F四点共圆。分析:欲证C、D、E、F四点共圆,可证以该四点构成的四边形中,一组对角互补或外角等于内对角即可。由此,连接EF构成四边形EFCD后,证明∠BFE=∠D即可。证明:连接EF,∵四边形ABFE是圆内接四边形,∴∠A+∠BFE=180°。又∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠D=180°。∴∠BFE=∠D。∴C、D、E、,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆若∠A=∠D或
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