初中数学竞赛题汇编(代数部分2).doc

NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,(代数部分2)江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1:已知a2+b2=6ab,且a>b>0,求。解:由已知得(a+b)2=8ab,(a-b)2=4ab,所以=2,因a>b>0,所以a+b、a-b均为正数,故=。例2:计算的值。解:因=2,所以=。例3:已知,求解:由已知得2(a+b)2=ab,即=-所以==。例4:已知,,求=?解:由得,由得,所以=+=1。例5:已知若abc=1,求证。分析:所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子,因而变形比较困难。可以充分利用abc=1,将它们化成同分母。在的分子、分母上同乘c,化成,将的分母中的“1”换成abc得,然后再相加即可得证。证明:∵abc=1∴=+==1。例6:已知bc=ad,求证:ab(c2-d2)=(a2-b2)cd证明:因bc=ad,所以由比例的性质得……①……②……③①×②×③得,所以ab(c2-d2)=(a2-b2)cd ∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd 。例7:已知x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by,且x+y+z≠0,.证明:证明:解方程组(2)+(3)-(1)得y+z-x=2ax,所以所以同理可得,,所以例8:已知x、y、z满足关系式,证明:证明:将已知等式分别乘以x、y、z得①②③①+②+③得所以即:例9:试用关于(x-1)的各次幂表示多项式。解:设。因为上式是恒等式,所以不论取什么数,两边都应相等,据此可设,代入上式得……①,代入上式得……②,代入上式得……③联立上面三个式子解得∴。这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。要尽量减少待定系数的个数,比如可以断定的系数是2,就没有必要再将项的系数设为待定系数了。例10:化简。解:设2013为,则2014=,2012=,则=-1。例11:解方程组……①……②解:(1)原方程组可化为令(1)代入方程组,得解得和代入⑴式中,得和分别解之,得和显然,这些例题运用了换元法就变的简捷了。(2)分析:可由 x3+y3,x+y求出xy,再由基本对称式,求两个变量x和y。∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)……③把①和②代入③,得35=53-15xy.∴xy=:求方程x+y=xy的整数解。解:  ∵ x+y=xy∴ (x-1)(y-1)=1。解之,得 x-1=1,y-1=1;或       x-1=-1,y-1=-1。∴x=2   y=2或     x=0  y=0例13:已知:a+b+c=0, abc≠0. 求代数式的值。分析:这是含a,b,c的轮换式,化简第一个分式后,其余的两个分式,可直接写出它的同型式。解:∵==,∴=---=-=:己知a+,a≠b≠c 求证:a2b2c2=1:证明:由己知a-b=∴bc=b-c=∴ca=同理ab=∴ab bc ca==1 即a2b2c2=1例15:己知:ax2+bx+c是一个完全平方式(a,b,c是常数)求证:b2-4ac=0证明:设:ax2+bx+c=(mx+n)2,m,n是常数那么:ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质得∴b2-4ac=(2mn)2