用向量的方法证明平行与垂直关系.doc

--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________用向量的方法证明平行与垂直关系用向量的方法证明平行与垂直关系知识点一:(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),: ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),=(1,-2,-4),=(1,-2,-4),设平面α的法向量为n=(x,y,z).依题意,应有n·=0,n·=0.即,=1,则x=2.∴平面α的一个法向量为n=(2,1,0).【反思】用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量)即可.“用向量法”求法向量的解题步骤:(1)设平面的一个法向量为;(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标;(3)根据法向量的定义列出方程组;(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。练面的一个法向量。知识点二:利用向量方法证平行关系(1)线线平行:设直线、的方向向量分别为、,则(2)线面平行:①由线面平行的判定定理,只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可;②设直线的方向向量为,平面的法向量为,则;③由共面向量定理知,只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可.(3)面面平行:①证明两个平面的法向量平行,即两个平面的法向量;②,是的中点,求证:.证方法一:∵=,∴,又,∴证法二:∵=+=+++=+.∴,,共面.又B1C面ODC1,∴B1C∥面ODC1.证法三:如图建系空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可得B1(1,1,1),C(0,1,0),O,C1(0,1,1),=(-1,0,-1),=,=.设平面ODC1的法向量为n=(x0,y0,z0),则得令x0=1,得y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1).又·n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0,∴⊥n,∴B1C∥平面ODC1.【反思】证明线面平行问题,可以有三个途径,一是在平面ODC1内找一向量与共线;二是说明能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示,:如图所示,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,,.求证::如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系C—=a,BE=b,CF=c,则C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(,b,0),F(0,c,0).=(0,b,-a),=(,0,0),=(0,b,0),所以·=0,·=0,从而CB⊥AE,CB⊥BE.所以CB⊥⊥平面DCF,所以平面ABE∥∥(1)线线垂直:设直线、的方向向量分别为、,则(2)线面垂直:①设直线的方向向量为,平面的法向量为,则;②由线面垂直的判定定理,只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。(3)面面垂直:①证明两个平面的法