用向量的方法证明平行与垂直关系.doc

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用向量的方法证明平行与垂直 关系
用向量的方法证明平行与垂直关系
知识点一：求平面的法向量
(1,2,3) ,B(2,0，— 1),
C(3,— 2, 0)，试求平面a的一个法向量.
解：T A（0，b,0），
所以CB・aE= 0
CB • BE = 0，从而 CB
Cb = （、3, 0,0）, 丄 AE, CBL BE.
所以CBL平面ABE因为CBL平面DCF所以 平面ABE/平面DCF故 AE//平面DCF.
知识点三利用向量方法证明垂直关系
(1) 线线垂直：设直线11、12的方向向量分别为a、 b，贝卩 li l2 a b a b 0
(2) 线面垂直：
① 设直线i的方向向量为a,平面 的法向量为
•，则 l a/厂 a k'；
② 由线面垂直的判定定理，只要证明已知直 线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。
(3) 面面垂直：
① 证明两个平面的法向量垂直，即两个平面 的法向量」' -0;
② 由面面垂直的判定定理可知：只要证明一 个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的 两条相交直线的方向向量垂直•
AiBiCiDi中,E,F分别是棱AB,BC的中 点，试在棱BBi上找一点M，使得DiM丄平面EFBi. 解：建立空间直角坐标系 D— xyz，设正方体的棱
长为2，贝V
B(2,2,2).
E(2,1,0),
F(1,2,0)
,D(0,0,2),
设 M(2,
2, m),则
uuur EF
1,1,0), B1E
=(0 , 1 ,
uuuuu -
DiM =
DiM
2),
:(2, 2, m2).
丄平面EFB ,・
uuuuu
DiM
E,
-2+爲o'，m= X故取
BiB的中点为M就
能满足DM!平面EFB.
【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定 定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行.
练习：1 •在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,
试在棱CC1 上求一点
P ,使得平面
2・ 在正三棱柱 ABC AiBG 中，BiC AB. 求证：ACi A1B . 证明 建立空间直角坐标系 C—xyz，设AB= a, CG= b.
3 a
则 A ya，2, 0，B（0，
a，b），B（0，a,0），
73 i
C（0,0，b），A-^a，2a，b
C（0,0,0）
UUUL
ACi =
于是 AiB
3 i
a，2a，
bic = （0， a ? b），
予,
2'
•/BiCXAiB,
ULUL
BiC
AiB =
WUUUL
AiC・
LULL!
AiB =
討—4a — b
2;【
£
=
2 a
2
2 a
2 ・2
」=2
UULW
AiC
山1»
AiB
即AG丄AiB.
课堂小结：
i •用待定系数法求平面法向量的步骤:
(1) 建立适当的坐标系．
(2) 设平面的法向量为n= (x , y, z).
(3) 求出平面内两个不共线向量的坐标 a =
(a1， b1， c1)， b=(a2， b2， c2)．
(4) 根据法向量定义建立方程组
a ・n = 0
b ・n = 0
(5) 解方程组，取其中一解，即得平面的法向
2．平行关系的常用证法
AB =入CD证明线面平行可转化为证直线的方
向向量和平面的法向量垂直， 然后说明直线在平面 外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．
3．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直， 可以转化为证明这条直线与平 面内两条相交直线垂直．
要证面面垂直， 可以转化为证明两个平面的法 向量垂直．
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跟踪练习：
一、选择题
A (3, 5, 2), B (-1 , 2, 1),把AB按
向量 a= (2,1,1)
A．(—4，—
平移后所得的向量是 (
)
．(—4，
3,0)
B
—3，— 1)
C． ( — 2，—
1,0)
D
． ( — 2，
— 2,0)
答案 B
uuur
AB = ( — 4，
— 3，— 1)．
平移后向
量的模和方向是不改变的．
2 •平面a的一个法向量为(1,2,0)
,平面卩
的一个法向量为(2 , — 1,0)，贝U平面a
与平面卩
的位置关系是 ( )