余弦定理的证明方法大全(共十法).doc

余弦定理的证明方法大全(共十法一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC∆中,已知ABc=,BCa=,CAb=,则有2222cosabcbcA=+-,2222cosbcacaB=+-,2222coscababC=+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC∆中,已知ABc=,ACb=,及角A,求证:2222cosabcbcA=+-.证法一:如图1,在ABC∆中,由CBABAC=-可得:((CBCBABACABAC⋅=-⋅-222ABACABAC=+-⋅222cosbcbcA=+-即,2222cosabcbcA=+-.证法二:本方法要注意对A∠进行讨论.(1当A∠是直角时,由22222222cos2cos90bcbcAbcbcbca+-=+-︒=+=知结论成立.(2当A∠是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB⊥,交AB于点D,则在RtACD∆中,cosADbA=,sinCDbA=.从而,cosBDABADcbA=-=-.在RtBCD∆中,由勾股定理可得:222BCBDCD=+22(cos(sincbAbA=-+bAb=-+即,2222cosabcbcA=+-.说明:图2-1中只对B∠是锐角时符合,而B∠∠是直角,图中的图1图2-1A点D就与点B重合;若B∠是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3当A∠是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB⊥,交BA延长线于点D,则在RtACD∆中,cos(cosADbAbAπ=-=-,sin(sinCDbAbAπ=-=.从而,cosBDABADcbA=+=-.在RtBCD∆中,由勾股定理可得:222BCBDCD=+22(cos(sincbAbA=-+bAb=-+即,2222cosabcbcA=+-.综上(1,(2,(3可知,均有2222cosabcbcA=+-:过点A作ADBC⊥,交BC于点D,则在RtABD∆中,sinBDcα=,cosADcα=.在RtACD∆中,sinCDbβ=,cosADbβ=.由coscos(coscossinsinAαβαβαβ=+=-可得:2cosADADBDCDADBDCDAcbcbbc-⋅=⋅-⋅=2222ADBDCDbc-⋅=222222cBDbCDBDCDbc-+--⋅=222(2bcBDCDbc+-+=2222bcabc+-=整理可得2222cosabcbcA=+-.证法四:在ABC∆中,由正弦定理可得sinsinsinsin(ABCAB===+.从而有sinsinbAaB=,………………………………………………………………①sinsin(sincoscossincAaABaABaAB=+=+.…………………………②将①带入②,整理可得coscosaBcbA=-.…………………………………………③将①,③平方相加可得22222(cos(sin2cosacbAbAbcbcA=-+=+-.图2-2图3即,2222cosabcbcA=+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4,则由题意可得点(0,0A,(,0Bc,(cos,sinCbAbA,再由两点间距离公式可得2a=22(cos(sincbAbA-+bAb=-+.即,2222cosabcbcA=+-.证法