圆锥曲线中关于四点共圆的几个定理.doc

圆锥曲线中关于“四点共圆”的几个定理浙江省海盐元济高级中学(314300)崔宝法四点共圆在平面几何里是研究的重点之一,但在平面解析几何里,较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题。笔者经过研究后发现,在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理。下面列出其中几个,并给出证明。定理1若椭圆的两条相交弦与长轴成等角,:如图1,设椭圆方程为,相交弦与长轴所成的角,,,所以可设过四点的二次曲线系方程为:(为参数),整理,=,∵,∴可解得,由此可知存在,使得此二次曲线表示一个圆,。定理2若一个三角形三边所在的直线都与抛物线相切,则这个三角形的三个顶点与抛物线的焦点共圆。证明:如图2,设抛物线线方程为,焦点为,的三边所在直线、、分别与此抛物线切于点,则三边所在切线的方程为,,令,、的坐标为、,所以,同理,,.,即与互补,故、、、(即有一边切于原点)时,不妨设,则,此时切线:与切线、的交点分别为、,故,,因此,四边形对角互补,故、、、(异于顶点)处的切线交两渐近线于两点,法线交两坐标轴于两点,则这四点共圆,:如图3,设双曲线上任意一点的坐标为,则过点的切线方程为,它与渐近线的交点为、.易知点处的法线方程为,它分别与轴、轴交于、.,,从而,.同理,,、都在以为直径的圆上,即、、、,点也在以为直径的圆上,(异于长轴端点)处的切线与长轴两端点处的两条切线相交,则所得的两个交点和椭圆的两个焦点共圆。证明:如图4,设椭圆方程为,则过椭圆上任意一点的切线的方程为,它与轴交于,与长轴两端点处的两切线交于、.,而,,∴、都在以为直径的圆上,故、、、(异于顶点)处的切线和法线都与短轴所在直线相交,则所得的两个交点与椭圆的两个焦点共圆。证明:如图5,设椭圆方程为,其上任意一点为,则点处的切线方程为,法线方程为,故它们与短轴所在直线的交点分别为、.从而直线斜率之积为,,焦点对也张直角.、都在以为直径的圆上,即、