牛方-不等式的证明方法.doc

不等式的证明方法牛方摘要:本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳并列举相关实例加以说明。关键词:微分中值定理泰勒公式函数的单调性凸函数InequalityproofmethodNiufangAbstract:Thisarticlefromthemid-valuetheorem,Taylorformula,monotonicityoffunctions,functionastheconvexity,:Themid-valuetheoremsTaylorformulamonotonicityoffunctionsconvexfunction前言不等式证明的基本方法很多,例如有比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法,但是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统归纳。本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳等式证明方法进行归纳。1利用微分中值定理证明不等式拉格朗日中值定理:在闭区间上连续;在开区间内可导。则在内至少存在一点,使得。柯西中值定理:在闭区间上连续;在开区间内可导;在内每一点处,则在内至少存在一点,使得:利用微分中值定理证明不等式的基本思想:根据所要证明的特点,作出相应的辅助函数,而所作的辅助函数应满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件,就可以得到满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件的一点,即也得到相应的表达式,然后再对其进行放大或放小,这样就可证明不等式。例1设,证明不等式分析:构造辅助函数,运用拉格朗日中值定理证明:先证明不等式的左边,设,因为,在闭区间上连续,在开区间内可导,所以根据拉格朗日中值定理得:,,(注意到),,则,且由单调递增当时,特别地,令,则有,即,所以原不等式成立。例2设、在闭区间上连续,在开区间上可导,且。证明:当时,。分析:根据函数单调性和柯西中值定理证明:因为,故单调增加所以当时,,即,由、在闭区间上连续,在开区间上可导,且对区间内的每一点都有,由柯西中值定理得:,从而得:,故原不等式成立。,则对任一点,有:其中是与之间的某个数,上式称为按的冪展开的阶泰勒公式。下面就泰勒公式展开点的不同情况来证明不等式。:选区间中点展开是较常见的一种情况,然后在泰勒公式中取为适当的值,通过两式相加,并对某些项进行放缩,便可将多余的项去掉而得所要的不等式。例1设函数在区间上有二阶连续导函数且,试证:对于内的任意2个不同点和有。证明:将在处展开,得其中是与之间的某个数。上式中分别取及,,,上面两式相加,得:因为,所以,即若把题目中的条件改为,而其余的条件不变,则结论改为例2设函数在区间上有二阶连续导函数,且,证明,其中。证明:将在处展开,得其中是与之间的某个数。因为,所以有上式在作定积分,:当条件中出现,而欲证式中出现,,,展开点常选为区间两端点,,然后在泰勒公式中取为适当的值,消去多余的项,可得待证的不等式。例1函数在区间上二价可导,且,证明:在内至少存在一点使得证明:将分别在及处展开,得,,,,上式中取,得:,,上面两式相减,并且,得:记,其中或。于是有,即。:当题中不等式出现函数的极值或最值项,展开点常选为该函数的极值点或最值点。例1设函数在区间内二价可导,且存在极值及点,使得,试证明:至少存在一点,使得。证明:将在处展开,得,上式取,并且,得:,。两边同乘以,得:,因为,所以有。例2设函数在区间上有连续的二价导数,且,试证明:证明设,若,则有,结论成立。下设,于是,且有,将在处展开得:,,即,于是有ⅰ)当时,上式取,得:,,即,。ⅱ当时,上式取,得:,即,。由ⅰ及ⅱ得,存在,使得:,又因为函数在区间上有连续的二价导数,所以二阶导函数在区间上连续,有连续函数的性质得:,,的关系时,展开点常选为该区间内任意点,然后在泰勒公式中取为适当的值,并对某些项作放缩处理,得所要的不等式。例1设函数在区间上有二价可导,且,,其中,为非负常数,证明:,其中。证明:将函数在处展开得:,上式中分别取及得:,。,。上面两式相减,得:,即