圆的切线的证明方法.doc

圆的切线的证明方法 天津四中杨建成平面内直线和圆存在着三种位置关系,即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交,这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢?证明直线是圆的切线大体上有三种方法:⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。其中⑴是切线的定义,它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系;⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断;⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。在几何证明中,常用的是最后一种方法,具体的证法有两种:①当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,证明直线垂直于这条半径,简称为“连半径,证垂直”;②当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称为“作垂直,证半径”。,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证CD是⊙O的切线。[分析]:因直线CD与⊙O有公共点D,故应采用“连半径,证垂直”的方法。[证明]:连结OD∵OC∥AD∴∠COB=∠DAO,∠COD=∠ADO∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO∴∠COB=∠COD在△DOC和△BOC中∵OD=OB,∠COD=∠COBOC=OC∴△DOC≌△BOC∴∠CDO=∠CBO∵AB是⊙O的直径,BC是切线∴∠CBO=90°∴∠CDO=90°∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙,已知两个同心圆O中,大圆的弦AB、CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证:CD是小圆的切线。[分析]:因直线CD与⊙O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。[证明]:连结OE,过O点作OF⊥CD于F∵AB与小圆相切于点E∴OE⊥AB∴AE=BE,CF=DF∵AB=CD∴AE=CF在Rt△AEO和Rt△CFO中∵OA=OC,AE=CF∴Rt△AEO≌Rt△CFO∴OE=OF∴,已知在△ABC中,CD是AB上的高,且CD=1/2AB,E、F分别是AC、BC的中点,求证:以EF为直径的⊙O与AB相切。[分析]:因直线AB与⊙O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。[证明]:过O点作OH⊥AB于H∵E、F分别为AC、BC的中点∴EF∥AB,且EF=1/2AB∴G点为CD的中点,OH=GD=1/2CD∵CD=1/2AB∴EF=CD∴OH=1/2EF∴AB为⊙,已知AB是⊙O的直径,线段AF与⊙O相切于点A,D是AF的中点,BF交⊙O于E点,过B点的切线与DE的延长线交于C点,求证:CD与⊙O相切。[分析]:因直线CD与⊙O有公共点E,故应采用“连半径,证垂直”的方法。[证法一]:如图4-1,连结OE、AE∵AB是⊙O的直径∴AE⊥BF∵D是AF的中点∴DA=DF=DE∴∠DEA=∠DAE∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA∵AB是⊙O的直径,AF是⊙O的切线∴∠DAE+∠OAE=90°∴∠DEA+∠OEA=90°∵OE是⊙O的半径∴CD与⊙O相切于E[证法二]:如图4-2,连结OE、AE、OD∵AB是⊙O的直径∴AE⊥BF∵D是AF的中点∴DA=DE=1/2AF在△OED和△OAD中∵DE=DA,OD=OD,OE=OA∴在△OED≌△OAD∴∠OED=∠OAD∵AB是⊙O的直径,AF是⊙O的切线∴∠OAD=90°∴∠OED=90°∵OE是⊙O的半径∴CD与⊙O相切于E[点评]:证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°,证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°,已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,ED平分∠ADC,CE平分∠BCD,试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?并证明。⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系?并证明。[分析]:⑴取AB的中点E,过E点作EF⊥CD于F,如果EF=AE,那么以AB为直径的圆与边CD相切,这就是“作垂直,证半径”。⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG,即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。[证明]:⑴以AB为直径的圆与边CD相切。如图5-1,过E点作EF⊥CD于F∵DE平分∠ADC,DA⊥AE,EF⊥CD∴EA=EF同理可证,EF=EB∴EA=EB=EF=1/2AB∵EF⊥CD,且FE=1/2AB∴以AB为直径的圆与边CD相切⑵以CD为直径的圆与边AB相切如图5-2,过E点作EF⊥CD于F,过E点作EG∥BC交CD于G点。在△EAD与△EFD中∵∠A=∠EFD=90°∠ADE=∠FDE,DE=DE(下转6版) 如何证明圆的切线垂直于圆