省电大开放教育开放本科金融专业、会计专业选修课程-《工商管理统计》单元辅导(二)(4-5章)第四章推断未知的总体特征(一)内容提要本章主要介绍参数估计的基本方法,也就是如何根据样本所提供的信息来推断我们所关心的总体特征。对于一个总体,我们所关心的总体特征主要有总体均值、总体比例和总体方差等,这些特征通常是不知道的,需要根据样本进行推断。本章内容主要涉及总体均值和总体比例的推断。要进行抽样推断,首先需要解决抽取样本的问题。从总体抽取样本的方法有概率抽样和非概率抽样两类。统计推断所依据的主要是概率抽样。抽样的概率抽样方法有简单随机抽样、分层抽样、系统抽样和整群抽样等。本章所介绍的推断方法主要依据简单随机抽样。根据简单随机抽样抽取样本的方法主要是根据随机数字表来进行。要根据样本进行推断,还必须知道样本统计量是如何分布的,比如样本均值的分布、样本比例的分布等。样本统计量的分布与原有总体的分布以及样本容量的大小有关。统计研究表明,如果原有总体是正态分布,那么,无论样本容量的大小,样本均值也服从正态分布,在重复抽样条件下,其分布的数学期望为,方差为。也就是说,作为随机变量的样本均值。在不重复抽样条件下,对重复抽样分布的方差用系数进行修正即可。这时样本均值的抽样分布为:。对于无限总体进行不重复抽样时,或者对于有限总体,当N很大,而抽样比很小时,其修正系数趋于1,这时样本均值的方差也可来计算。如果原有总体的分布不是正态分布,就要看样本容量的大小了,当n为大样本时根据统计分上的中心极限定理可知,当样本容量n增大时,不论原来的总体是否服从正态分布,样本均值的抽样分布都将趋于服从正态分布。这时就可以按正态分布来进行推断。当n为小样本时,其分布则不是正态分布,这时就不能按正态分布进行推断。同样,对于样本比例的分布,我们也需要知道的数学期望和方差。统计证明,的数学期望等于总体的比例,即:,而的方差则与抽样方法有关,在重复抽样条件下,有:,在不重复抽样条件下,则用修正系数加以修正,即:。也就是说,在重复抽样条件下,样本比例的抽样分布为;在不重复抽样条件下,样本比例的抽样分布为:。与样本均值分布的方差一样,对于无限总体进行不重复抽样时,可以按重复抽样来处理。此时样本比例的方差仍可按来计算。对于有限总体,当N很大,而抽样比时,其修正系数趋于1,这时样本比例的方差也可以按来计算。统计证明,对于来自正态总体的简单随机样本,比值的抽样分布服从自由度为(n-1)的分布,即。总体方差的区间估计就是用分布来建立的。在知道了样本统计量的分布后,我们就可以根据其分布来估计总体的参数了。用样本统计量估计总体参数的方法有点估计和区间估计两种。点估计就是用样本估计量直接作为总体参数的估计值。一个优良的估计量应满足无偏性、有效性和一致性三个标准。但由于点估计没有给出估计的可靠程度,实际中我们更多的使用区间估计,它是在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个范围,并指出总体参数落在这一范围的概率是多少。总体参数所在的区间称为置信区间。总体均值的区间估计有以下集中情况:一是正态总体方差已知,或非正态总体方差未知但大样本。这种情况下,可以根据正态分布建立总体均值的置信区间。在重复抽样条件下,总体均值在置信水平下的置信区间为:;在不重复抽样条件下,总体均值的置信区间为:。如果总体方差未知,即使总体为非正态分布,只要
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