大一线性代数论文.doc

中国矿业大学银川学院机电动力与信息工程线性代数论文 (2012-2013)专业:电气及其自动化班级:11级电气(2)班姓名:薛成建学号:120110516126任课老师:马延福 日期:,高等教育已进入了一个飞速发展的时期,并且突破了以前的精英式教育模式,发展成为一种在终身学习的大背景下极具创造性和再创性的基础学科教育。高等学校教育教学观念不断更新,教学改革不断深入,办学规模不断扩大,数学课程开设的专业覆盖面不断增大。越来越需要一本高质量的高等学校非教学类专业的教材———《线性代数》。为适应教学课程开设的专业覆盖面,逐渐引入了以求适应的知识点。n阶行列式、矩阵、n维向量与向量空间,应用数学模型等慢慢走进了专业覆盖面。在实际问题中,我们经常会碰到超过3个元素的数组,例如确定飞机的状态,需要以下几个参数:机身的仰角、机翼的转角、机身的水平转角、飞机重心在空间的位置参数等。因此,需要引入n维向量的概念。n个数组成的有序数组()或称为一个n维向量,简称向量。其中只有一行的称为行向量,只有一列的称为列向量。数称为这个向量的分量,称为这个向量的第个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量,分量都是负数的向量称为负向量。实际上,n维行向量可以看成行矩阵,n维列向量可以看成列矩阵。如果两实向量相等,即称两个向量相等。对于两个分量的各分量的和所组成的向量,称为两个向量的和。一个数与向量的各分量相乘所组成的向量,称为向量与k的数量乘积,简称数乘,记为k。分量全为零的向量()称为零向量,记为。与-1的数乘(-1)称为的负向量,记为-。向量的加法与数乘具有下列性质:(1)+=+;(交换律)(2)(+)+=+(+);(结合律)(3)+=;(4)+(-)=;(5)k(+)=k+k;(6)(k+i)=k+i;(7)k(i)=(ki);(8)i=;(9)0=;(10)k=在数学中,满足(1)~(8)的运算称为线性运算。我们还可以证明:(11)如果k≠0且≠0,那么k≠.由若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。例如一个mxn矩阵A=有n个m维列向量=,=,···,=,我们称向量组为矩阵A的列向量组。对于行向量组也同样。矩阵与向量组之间建立了一一对应的关系。,如果存在不全为零的数,使得++···+=。则称向量组线性相关。反之,如果只有在==···==时上式才成立,就称向量组线性无关。列向量也同样如此。对此,单个零向量构成的向量组是线性相关的。定义:给定向量和向量组,如果存在一组数,使得=++···+,则称向量为向量组的一个线性组合,或者说可有向量组线性表示,称为组合系数。例6设=(1,1,1,),=(1,1,-1,-1),=(1,-1,1,-1),=(1,-1,-1,1),=(1,2,1,1),试问能否有,线性表示?若能,写出具体表达式。解:令=+++,于是得线性方程组+++=1+--=2-+-=1--+=11111因为D=11-1-1=-16≠0,1-11-11-1-11则由克拉默法则求出=,=,==-,所以=+--因此,能由,线性表示。定理1向量组(n大于等于2)线性相关性的充分必要条件是:其中至少有一个向量能由其余向量线性表示。定理2设向量组线性无关,而向量组,线性相