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黎曼几何黎曼,是一个养活了近一个世纪的数学家,并(目测)将要养活接下来至少500年的数学家的男人。我对数学史不是很熟(以后有机会说不定会开个专栏扒扒历史),所以我这里写的所有和数学史有关的内容你都可以认为我在胡扯(对,我就是懒得查资料……)。今天只想谈谈数学,我会尽量做到科普,所以不要追究我的细节。我对这篇文章的定位是睡前读物,可能很长,但是绝对不会难读懂。以及,不要因为看了我的文章而走上民科的道路,想要真正了解请老老实实从数学分析线性代数学起。这篇文章里我只谈两个概念:流形,度量。OK,Let'sstart!流形的概念绝对是一个非常伟大的构想,以我浅薄的数学史知识,这个概念第一次出现大概就是在黎曼为了谋一份教职而做的一份公开报告里。在黎曼之前,几何几乎就是笛卡尔的坐标(当然这个也是一个非常伟大的概念),大家总是在一个高维的欧氏空间做东西。欧氏空间,大家可以理解为横平竖直的那种空间,比如的三维欧氏空间,就是在牛顿绝对时空观下我们生活的世界。二维的呢?就是高中折磨了大家很久的解析几何。关于这样的空间的例子,其实我们有很好的直观:比如两点之间直线最短,过直线外一点有且仅有一条直线和已知直线平行,三角形内角和180度等等,这些都是大家从小学就知道的事情。黎曼说,你们考虑的东西啊,TOOYOUNG!TOOSIMPLE!应该考虑所谓的流形。流形是啥呢?大家知道足球吧,就那个黑白花纹的,一块一块皮缝出来的球形物体。其实每一块皮基本上都是平的(就是你能理解的那种“平”),但是缝起来就是个足球。流形也是一样,它的比较数学化的表述是,有一个点组成的集合M,M中每一个点的附近都有一个邻域,那个邻域和欧式空间“长”的差不多(数 学术语叫同胚,很形象的一个词)。还是刚刚的足球,足球上每一个点都在某块皮上,那块皮扯下来就是个平坦的东西。(不要追究细节,不要追究细节!)这个概念为啥重要呢?因为大家的视野一下子变得不一样了!以前我们看几何对象,我们都是所谓的“外蕴”的看,就是说,我们在这个几何体在的更高维的空间里看它,比如足球,它是个二维的东西(就是一大块布嘛),但是我们是在三维空间看它。所以我们一眼就知道它是弯的!(对,就是你能理解的那个弯)可是假设你是在大航海时代前的人,你怎么知道地球其实是弯的?就跟足球一样弯?你不知道,你就算知道你也不确定你是不是真的知道。对于这种情况最常用的比喻就是,假如你是一只生活在足球上的蚂蚁,你怎么知道你是生活在一个足球上,而不是一个铺了和足球同样材质的、很大很大的(大到你一辈子都走不到边的)桌面上?流形的概念告诉我们,其实我们真的不知道,因为我们视野范围是有限的,而有限的范围内的东西和横平竖直的欧式空间一模一样……流形的概念伟大之处也在这里,它表明我们其实想要研究更加一般的空间,我们就不应该“外蕴”的去看它,而是应该“内蕴”的去看。什么叫“内蕴”,你就理解为,在流形自身上看。伟大的黎曼告诉我们,其实“内蕴”的看能知道的东西比你想象的多得多。最简单的,我们是可以在不环游地球不走到太空里的情况下,知道地球是圆的。在说着这个之前,要谈另一个概念:度量。其实度量从它名字来看就能理解,度量度量,就是量一量长度嘛。人类规定了单位米尺的长度,所以我们就可以度量北京到上海的距离,可以度量你一根手指的长度,一根发丝的长度。对于这种规定了怎么量长度的空间,数学上称为