排队论的应用.doc

排队论的应用——食堂排队问题刘文骁摘要本文通过运筹学中排队论的方法,为食堂排队问题建立模型,研究学生排队就餐时间节约的影响因素,通过简单计算,得出影响最大因素。排队论是通过研究各种服务系统的排队现象,解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本文将根据食堂排队状况建立数学模型,运用排队论的观点进行分析,找出可以减少排队时间的最大影响因素。关键词排队论,M/M/s模型,食堂排队引言在学校里,常常可以看到这样的情况,下课后,许多同学正想跑到食堂买饭,小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍,本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵,怎能不怨声载道。减少排队等待时间,是学生们十分关心的问题。(又称为随即服务系统)的数学理论和方法,是运筹学的一个重要分支。在日常生活中,人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。排队系统的一般形式符号为,X/Y/Z/A/B/C。其中,X表示顾客相继到达时间间隔的分布,Y表示服务时间的分布,Z表示服务台的个数,A表示系统的容量,即可容纳的最多顾客数,B表示顾客源的数目,C表示服务规则。排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征,了解系统运行的基本特征,系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。当系统运行一定时间达到平稳后,对任一状态n来说,单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等,即系统在统计平衡下“流入=流出”。据此,可得任一状态下的平衡方程如下,由上述平衡方程,可求的,平衡状态的分布为,p,Cp,n,1,2,??(1)nn0,,,?n,1n,20其中,C,,n,1,2,??(2)n,,,?nn,11,,,,有概率分布的要求,p,1,有,,则有,1,Cp,1,,nn0,,0n,n0,,,1p,??(3)0,,C1,nn0,,,CC,,注意,,3,式只有当级数收敛时才有意义,即当时才能由上,,nnnon,o,述公式得到平稳状态的概率分布。,相继到达的时间间隔服从参数为的指数分布,系统中具,有S个服务员,每个服务台的服务时间相互独立,且服从参数为的指数分布。,当顾客到达时,若有空闲的服务台则可以马上接受服务,否则便排成一个队列等待,等待空间为无限。下面讨论这个排队系统的平稳分布,即为,,(n,0,1,2,??)p,pN,n系统达到平稳状态后队长N的概率分布,注意到对个数为S的多服务台系统,有,,nn,0,1,2,??,,p,p,和,,即,,,,,,,,n,0,1,2,??,snnss,sn,s,s,1,??,,则当P<1时,由(1)式,(2)式,(3)式,得,n,,,,1,,1,2,,(4),pns,??0,,,!n,,,,p,nn,,,1,,,pn,s0,,,ns,,!ss,,,,1in,1n,,,,,,,,其中,p,,(5),,,0,,,,inn,,!!i,0,,,,公式(4)和公式(5)给出了在平和条件下系统中顾客数为n的概率,当时,n,s即系统中顾客数大于或等于服务台的个数,这时来的顾客必须等待,因此即,s,,,,,,,cs,pp(6),n0,,~,,s1n1,s(6)式成为Erlang等