排列组合问题常见题型与解法.pdf.pdf

‘何娟(1、襄阳市襄州区一中,湖北襄阳441000;2、丹江口市一中,湖北丹江口442700)摘要:排列组合问题是每年高考的必考内容,常以选择题或填空题的形式出现,近年来也常出现在大题分布列和期望中,主要考查学生对分类讨论、转化与化归等思想的理解。关键词:排列组合;常见题型;解法中图分类号:G633文献标识码:A站队问题常见的站队问题有以下几种类型:(1)特殊元素特殊位置优限法;(2)相邻问题捆绑法;(3)不相邻问题插空法;(4)、按以下要求站队,各有多少种站法?(1)7名运动员站成一排;(2)7名运动员站成一排,甲不在左端;(3)7名运动员站成一排,甲不在左端,乙不在右端;(4)7名运动员站成一排,甲乙必须相邻;(5)7名运动员站成一排,甲乙不能相邻;(6)7名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列。解:(1)直接法:7个元素的全排列A;种。(2)优限法:甲为特殊元素优先排,有种,再排其他的,有种,所以共有种。(3)间接法:先将所有人全排,然后去掉甲在左端或乙在右端的,再补上甲在左端且乙在右端的,共有A;一2A:+种。(4)捆绑法:先将甲乙捆在一起当一个元素,与余下5人共6个元素全排,然后甲乙再松绑内部排列,所以有A;种。(5)插空法:甲乙不能相邻,先将余下的5人全排,再在5人间的6个空隙中将甲、乙插入,有A55A:种。(6)除法处理:不考虑附加条件,排队方法有A;种,而其中甲、乙、丙的A;种排法中只有一种符合条件,故符合条A:件的排法有=寻种。二、分组、分配问题(不同元素的分配问题)例2、6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;(2)分为三份,每份两本;(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本。解:(1)有分配对象的均匀分组问题,分步完成即可,有c:c:C:种。(2)没有分配对象的均匀分组问题,对比第一小问,我们来解决该题。(1)中分给甲、乙、丙三人,每人两本有c22c种方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每份两本,设有X种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A:种方法。根据分步计数原理可得:·A3-c22c,所以x=。(3)没有分配对象的不均匀分组问题,分步完成即可,一共有c:C:C;种方法。(4)有分配对象的不均匀分组问题,在(3)的基础上再进行全排列,;C;种方法。三、相同元素的分配问题可构造分球入盒模型来解答:将n个相I司的小球放入m(m≤n)的不同的盒子中,(1)不允许出现空盒,有多少种不同的放法?(2)允许出现空盒,有多少不同的放法?解:(1)将n个相同的小球分成m份,每份至少一个,_u丁在n个小球之间的(n一1)个空隙中插入(m一1)板,然后将分成的m文章编号:1005—6351(2012J一07—0039一Ol份对应放入m个盒中,即有c7:种不同的放法。(2)将n个相同的小球分成m份,依然需要(m—1)个板将其隔成m份,但是可以允许板与板相邻,也就是可以允许某些份里没有球,将这n个相同的小球与这(m一1)板共(n+m一1