§8-4矩阵相似的条件引理1:如果有n×n数字矩阵使,则A与B相似。引理2:对于任何不为零的n×n数字矩阵A和-矩阵U()与V(),一定存在-矩阵Q()与R()以及数字矩阵使。定理7:设A,B是数域P上的n×n数字矩阵。A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等价。证明:等价,就是存在可逆的-矩阵U()与V(),使得(※)。必要性:设A与B相似,就有,于是有,从而等价;充分性:等价,从而有存在可逆的-矩阵U()与V(),使得,对-矩阵U()与V(),一定存在-矩阵Q()与R()以及数字矩阵,使从而有代入上式就有由于V0是次数小于1的多项式,记,E=U0T,A与B相似。推论1:矩阵A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。例1:求可逆-矩阵的标准形;可逆矩阵的标准形是E。推论2:可逆-矩阵与数字矩阵E等价。推论3:-矩阵可逆的充分必要条件是它可表示成若干个初等矩阵的乘积。推论4:二个-矩阵等价的充分必要条件是存在可逆矩阵。n阶方阵的特征矩阵的秩一定是n,从而不变因子有n个,它们的乘积就是矩阵的特征多项式。不变因子是矩阵的相似不变量。例1:设A为数域P上的一个n级方阵,且A2=E,证明:A与对角形矩阵相似。证明:由于A2=E,A的特征值1或–1,而A的最小多项式是互素的一次式的乘积,从而A相似于对角线上元素为1或-1的对角矩阵。作业:P357-4
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