圆切线证明的方法.doc

切线证明法切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论1: : 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: : 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.【例1】如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=:DC是⊙:要想证明DC是⊙O的切线,只要我们连接OC,证明∠OCD=:连接OC,BC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90o.∵∠CAB=30o,∴BC=AB=OB.∵BD=OB,∴BC=OD.∴∠OCD=90o.∴DC是⊙O的切线.【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥:CD是⊙:本题中既有圆的切线是已知条件,,⊙O的切线,只要证明∠ODC=:连接OD.∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠∵OB=OD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90o.∴∠ODC=90o.∴DC是⊙O的切线.【例3】如图2,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,:AC平分∠:利用圆的切线的性质——:连接OC.∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴OC∥AD.∴∠1=∠2.∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴AC平分∠DAB.【评析】已知一条直线是某圆的切线时,,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直切线.【例4】如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠⊙O的切线吗?为什么?解:AC是⊙:连接OC,∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B.∵∠ACD=2∠B,∴∠ACD=∠COD.∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°.∴∠DCO+∠ACD=90°.即OC⊥AC.∵C为⊙O上的点,∴AC是⊙O的切线.【例5】 如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB的延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠:DE是⊙:连接OC,则OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∵AC平分∠EAB,∴∠EAC=∠CAO=∠ACO,∴AE∥CO,又AE⊥DE,∴CO⊥DE,∴DE是⊙、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段,证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3,AB=AC,OB=OC,⊙:连接OD,作OE⊥AC,垂足为E.∵AB=AC,OB=OC.∴AO为∠BAC角平分线,∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D,∴∠BDO=∠CEO=90°.∵AO=AO∴△ADO≌△AEO,所以OE=OD.∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径.∴⊙O与AC边相切.【例7】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,:EF与⊙:连结OE,AD.∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥∵AB=BC,⌒⌒∴∠3=∠4.∴BD=DE,∠1=∠∵OB=OE,OF=OF,∴△BOF≌△EOF(SAS).∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切,∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙:此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=:PA与⊙:作直径AE,连结EC.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD,     ∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB,∴∠1=∠∵∠B=∠E,   ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径,∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.