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单摆运动研究JournalofChengdeTeachersCollegeforNationalitiesMay单摆运动研究殷中伟[摘要]单摆在摆动角趋于零的极限条件下,单摆的运动是简谐振动,其特征是周期与振幅无关。在摆动角不可忽略的实际情况运动中,单摆的运动周期与振幅有关。本文通过相应的数学计算得出周期与摆动角的函数关系,并分析单摆的运动中绳的张力情况,对单摆的运动进行研究。()O321文章编号]1005215542000022028202[[中图分类号][文献标识码]A[关键词]单摆;摆动角;简谐振动;周期;振幅;张力()当地点不变时,与振幅无关。因而具有简谐振决定将一根不可伸长的轻绳一端固定,另一端悬挂()动的形式。一个小球可看作质点,小球在重力作用下,在铅直1Η1d222)面上作受迫运动,人们将小球的这种运动叫做单摆(单摆的功能:==EmvmL22dt运动。)((单摆的势能:U=mgL12cosΗ设平衡置处的)已知一个单摆,如右势能为零图所示。设小球的质量为在不考虑阻力时,单摆运动中小球的机械能保悬线绳为平衡位,,持不变,即常数。+=MLEU置为点,悬线方向与这种简谐振动是在Η?0的极限情况下得出的,O在单摆振动周期的实际测量中,为了使振动角度极铅直线之间的夹角叫Η小,而又便于观察,通常采用加长绳长的方法。做摆动角。如果为振动清晰而增大摆动角,单摆振动周Η11摆动角极小情况期会如何呢?下的简谐振动21摆动角较大时的周期与振幅在不考虑空气阻力设单摆的初始条件为:=0,=,=tΗΗ0v00。则在(00,势能为0=1初始时刻单摆的动能为E=UmgL时,从小球受力分析中可知,小球受两个力的作用:)-,根据机械能守恒定处cosΗ。单摆在任意位置Η0主动力——重力和约束反作用力——绳的拉力mg1Ηd22。采用自然坐标系建立小球运动的动力学方程,在F))()((律有:+1-cosΗ=mg1-cosΗ0mLmg2dt切向上小球所受的合力为——,根据牛顿运mgsinΗeΗ2g2()()即-cosΗ-cosΗ0=02dtLΗd动定律有()即=2gsinΗL又Η角很小时Η?0,2dtΗ=-mamgsinΗdΗ02g222Η=2得sinΗΗ则(()())或2=0?12sinsindtL2222dΗgdΗg=0Η或+=-Η2()21式为一阶微分方程,为解此方程令:LLdtdtΗ0Η()此为二阶常系数微分方程,其通解为?2=,=sincsincu22Ηg)(dΗ=Ηmcost+Η0LΗ2du()()=os2dtdt上式中是单摆的最大角位移一振幅,为初ΗmΗ0Η相位;二者都可以由初始条件确定。从该式可知单摆dcdu2cdu()将该式带入1式中==即:22LdtcosΗdtdt1-cu振动的周期为=2TΠg可得即在摆动角很小的情况下,振动周期只由绳长g1du22)(()=1-u221-cudtL〔收稿日期〕1999—10—11—28—11gdu224()或=dt222uduudu1?34()()L1-cu1-u)+d+?ΘΘ222?4u12u12u00gdu=其积分形式为:t222ΘL1?3L124()()1-cu1-u0(+)=4+0cI2+?IcI4g22?4当角度由0增大到时,变量由0增大到1,所ΗΗ0uΗ01Η?30L124用的时间为单摆周期的四分之一。故单摆的周期