等距牛顿插值公式.doc

等距牛顿插值公式问题的提出:yfx,()已知函数在n+1个不同xxx,,,?01n的点上的函数值分别yyy,,,?01n为,求一个次数不超过n的Px()多项式,使其满足nPxy(),in,0,1,,?,,,,即n+1个nii不同的点可以唯一决定一个n次多项式。n次拉格朗日型插值多项式:nPxylxylxylxylx()()()()(),,,,,?,0011nnnkk,0k()()()()xxxxxxxx,,,,??011iin,,lx(),i()()()()xxxxxxxx,,,,??iiiiiin011,,,(x),n1l(x),i'(x,x),(x),in1i,(x),(x,x)(x,x)?(x,x)n,101n',(x),(x,x)?(x,x)(x,x)?(x,x)n,1ii0ii,1ii,1in截断误差:1(1)n,Rxfx,,,()()()nn,1n,(1)!牛顿插值公式:,,,fxfxxxx()[,]()Nx()0010n,,,,fxxxxxxx[,,]()()?01201,,,,fxxxxxxxxx[,,,]()()()??01n01n1,Rx()n,,,,fxxxxxxxxxx[,,,,]()()()??01n01n;fxNxRx()()(),,nn。拉格朗日插值与牛顿插值的比较:Lx()Nx()nn(1)和均是n次多项式,且均满足插值条件:LxNxfxk01n()()(),,,,,,,?nknkk。由插值多项式的唯一PxNx()(),nn性,,因而,两个公式的余项是相等的,即()n1,f(),?,fxxxxxx[,,,]()(),,01nn1n1,,,()!n1则可知n阶差商与导数的关系如下:()nf(),?,,fxxxab[,,,],[,],01nn!(2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶差商,然后加上一项即可。(3)牛顿型插值余项公式对fx()fx()是由离散点给出或导数不存在时均适用。?、差分与等距牛顿插值公式插值节点为等距节点:xxkhk0,k01n,,,,xyfx,()k在h称为步长,函数ffx,()kk的函数值为。:fffkk1k,;二阶差2,,,,,fff,kk1k分:,,,,()()ffffk2k1k1k,,,一般地,m阶差分用m-1阶差分来定义:mm1m1,,fffkk1k,。xk以上定义的是前差:从起向xx,,?k1k2,,前的函数值的差,Δ称为向前差分算子。而下面定义向后差分,?表示向后差分算子,fffkkk1,,2,,,,,,,,,fffffff()(),,,,kkk1kk1k1k2,…,mm1m1,,fffkkk1,分别称为一阶,二阶,...,m阶向后差分。,中心差分,表示中心差分算子,,ffxhfxh,,,,(/2)(/2)kkk,,ff11,,kk22如果用函数表上的值,一阶中心差分应写成,fff,,11kk,k,2,fff,,11kk,k,2二阶中心差分为:2,,,fff,,k11,,kk22除差分算子外,常用的算子符号还有:不变算子I:Iff,kk移位算子E:Eff,kk,1由上面各种算子的定义可得算子间的关系:由fffEfIfEIf,,,,,,()kkkkkk,1,,,EI可得同理可得11,,122,,,,,IEEE,.,差分的性质性质1:各阶差分均可用函数值表示,nn,,nnjnj,,,,,,fEIfEf()(1),kkk,,jj,0,,nn,,j(1),,f,,,,,nkjj0,j,,nn,,nnnjjn,,,1,,,,,fIEfEf()(1),kkk,,jj,0,,nn,,,nj(1),,f,,,,,kjn0j,,,jn,,nnnj(1)(1),,,?,,,为其中jj!,,二项式展开系数。性质2:可用各阶差分表示函数值。例如:可用向前差分表示fnk,,因为n,,n,,nnj()fEfIff,,,,,,,,,,nkkkk,,j0,j,,,,于是有njn,,nkk,,ff,,,,j0,j,,性质3:在等距插值的情况下,由定义可得出差分和差商(均差)有如下关系:1m[,,,](,,,)??,,,fxxxfm12n,,kk1kmkm!mh同理,对向后差分有1m[,,,](,,,)??,,,fxxxfm12n,,kk1kmkm!mh验证差分和均差有如下关系:因为xxhxx2hxx3h,,,,,,k1kk2kk3k,,,所以ff,1k1k,[,]fxxf,,,kk1k,xxh,k1k,,fxxfxx[,][,],k2k1k1k,,,fxxx[,,],kk1k2,,xx,k2k,1111,,2,,,,,,,fff,k1kk,,22hhh2h,,fxxxx[,,,