咖啡杯倾斜角度标定与机器人节奏控制.doc

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咖啡杯倾斜角度标定与机器人节奏控制
摘要
机器人在端送咖啡时,由于受环境因素以及端送节奏的影响会致使咖啡杯产生随机震动,导致咖啡杯内的咖啡洒落,此时机器人必须重新调整端送姿势与节奏杜绝咖啡的外洒。本文针对如何让机器人在端送咖啡的整个过程中以平稳的节奏行走以及在咖啡杯发生震动的情况下如何及时调整机器人两个问题建立相应的数学模型。
首先我们从机器人的四个轮子入手,采用四脚板凳模型[1],根据函数g(Θ)是Θ的非负连续函数,0≤Θ≤2π且满足: ,g(Θ)=0 ; 对任意Θ∈[],fΘgΘ=0 ; fπ2=g0,g(π/2)= f0 。则必定存在一点α,0<α<π/2使h(α)=0 即 fα=gα=。
其次从简单的圆柱状杯子和杯托入手,研究机器人在变速运动以及传送过程产生的随机振动对咖啡杯内咖啡液面的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系,在忽略咖啡杯厚度以及系统不发生剧烈振动的情况下,根据共振原理,当液体振动频率=固有频率时,此时咖啡液面的振幅最大,运用结构力特性试验[2]和积分的方法求出盛放咖啡的量和测量咖啡最高液面高度的关系将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图,计算并分析所产生的误差。纵向变位中,分变速、匀速两种情况进行求解,然后将两段结果综合在一起与变位前作比较,可以得到变位对咖啡液面的影响。通过计算以及几何关系,具体列表给出了机器人变位后杯口高于液面最小值为0
关键词:板凳稳定性模型、四轮共同着地、积分、液体振动频率与固有频率、液面与杯口距离关系、结构力特性试验

一、问题重述
当我们想喝咖啡时,时常困惑于洒落杯外的咖啡。有的时候,当一些同事能端着咖啡冲出办公室时,你却要为了杯中的咖啡不洒出而保持一定的姿势与节奏。
请用数学建模的方法找出控制咖啡洒出的方法。假设现在有一个端着咖啡迅速行走的机器人。在考虑到随机振动的情况下制定一个控制机器人节奏防止咖啡溢出的方案。
二、问题分析
本题是防止杯内液体受随机振动而溢出的问题,就是要做到端送者在端送过程中保持稳定,以及针对在加速、匀速、减速过程中出现振动做出的合理调整。
针对使机器人如何保持运送过程的稳定性,根据四脚板凳模型我们可以做到让机器人运送咖啡的整个过程中保持四个轮子同时着地的稳定传送状态
针对如何杜绝咖啡杯内的咖啡洒出杯外,我们以机器人为系统,并且深入探讨咖啡在被端送的过程中所受振动频率与固有频率之间的关系,探讨出来咖啡最大振幅小于等于杯口高度的情况,使得咖啡失去溢出杯外的可能性。
三、模型假设
(1)机器人轮子一样大,轮子与地面的接触为一个点,四只接触点的连线呈正方形(对机器人假设)
(2)地面高度是连续随机变化的,即可视为数学上的连续曲面(对地面的假设)
(3)办公区的地面时相对平坦的,机器人在任何时候都能三个轮子同时着地
四、符号说明
Θ:机器人旋转角度
g(Θ):表示轮子A、C到地面距离之和
f(Θ) : 表示B、D两轮子到地面距离之和
α: 机器人四轮同时着地的等价点
w :咖啡波纹的频率
五、模型的建立与求解

首先通过变量表示机器人的位置,由于四个轮子的连线呈正方形,以中心点为对称点,
由于地面高度是随机变化的,则正方形绕中心的旋转正好代表了机器人位置的变化,于是可以用旋转角度Θ这一变量来表示机器人的位置(图1)
图1 机器人四轮旋转示意图
其次,要把轮子用数学符号表达出来,如果用某个变量表示机器人轮子与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示轮子着地,机器人要挪动位置则说明这个距离是位置变量的函数,由于正方形的中心对称性,只要设两个函数就行了,设g(Θ)表示轮子A、C到地面距离之和;fΘ表示B、D两轮子到地面距离之和。
由假设(2),函数g(Θ)是Θ的非负连续函数,0≤Θ≤2π;
由假设(3),对任意Θ∈[],fΘg(Θ)=0,
不妨设,
,g(Θ)=0
当机器人转动π/2时,则AC与BD互换位置,
由假设(1),
fπ/2=g(0),g(π/2)= f0
机器人四轮同时着地等价于存在一点α,
∵g(0)=0,
∴。
令 h(Θ)=,
且在[]上连续
且 h(Θ)=,h(π/2)=
由闭区间上连续函数的介质定理可知,
必定存在一点α,0<α<π/2使h(α)=0 即 fα=g(α),
因为至少有一个为0,
所以 fα=g(α)=0
综上可以类推出机器人在运送咖啡的过程中保持四轮都着地的稳定状态。

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