2009年考研数学二试题及答案解析.docx

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 .,只有一项符合x3函数fx的可去间断点的个数为sinxA1B2C3D无穷多个【答案】C【解析】由于fxxx3,则当x取任何整数时,,但可去间断点为极限存在的点,故应是xx30的解x1,2,3 0,,x0sinx0limxx3lim13x2x2,,即0,1.(2)当x0时,fxxsinax与gxx2ln1bx是等价无穷小,则A1Ba1,b1Ca1,b11a1,b6Da1,b666【答案】A【解析】f(x)limxsinaxlimxsinaxlimx2ln(1bx)x2(bx)x0g(x)x0x01acosaxa2sinax洛lim3bx2洛lim6bxx0x0a2sinaxa31,lim6b6bx0axaa36b,故排除B,,lim1acosaxacosax0x0,,蕴含了1x0所以本题选A.(3)设函数zfx,y的全微分为dzxdxydy,则点0,0A不是fx,y的连续点B不是fx,y的极值点C是fx,y的极大值点D是fx,y的极小值点【答案】D【解析】因dzxdxydy可得zx,,B2z2z0,C2z1,x2xyyxy2又在0,0处,z0,z0,ACB210,xy故0,0为函数zf(x,y)的一个极小值点.(4)设函数fx,y连续,则22x,ydy24ydxfdyfx,ydx1x1yA2dx4xx,ydyB2dx4xx,ydy11f1fxC2dy4yx,ydxD2dy2x,ydx【答案】C11f1fy22f(x,y)dy22f(x,y)dx的积分区域为两部分:【解析】dx1dy1xxD1(x,y)1x2,xy2,D2(x,y)1y2,yx4y,将其写成一块D(x,y)1y2,1x4y,24y故二重积分可以表示为dyf(x,y)dx,(5) 若f x不变号,且曲线y f x在点1,1上的曲率圆为 x2 y2 2,则函数f x在区间 1,2内AC有极值点,无零点有极值点,有零点BD无极值点,有零点无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f(x)0,且在点(1,1)处的曲率|y|31,而f(1)1,由此可得,f(1)(1(y)2)2在[1,2]上,f(x)f(1)10,即f(x)单调减少,(2)f(1)f()1(1,2),(拉格朗日中值定理)f(2)0而f(1)10,由零点定理知,在[1,2]上,f(x).(6)设函数yfx在区间1,3上的图形为:则函数Fxxftdt的图形为0A BCD【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核,由y f(x)的图形可见,其图像与x轴及y轴、x x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x),从而可得出几个方面的特征:①x0,1时,F(x)0,且单调递减。x1,2时,F(x)单调递增。③x2,3时,F(x)为常函数。④x1,0时,F(x)0为线性函数,单调递增。⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点,可见正确选项为D。(7)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A2,B3,则分块OA的伴随矩阵为矩阵OBO3B*BO2B**.2A*OOO3A*DO2A*【答案】BC*.3B*.2BOO【解析】1,0A0A22AB236即分块矩阵可逆分块矩阵0的行列式(1)BB01B0A0A0A10B106BB0B0B06101AA0A01B02B63103A0A2100(8)设A,P均为3阶矩阵,PT为P的转置矩阵,且PTAP010,若002P(1,2,3)Q,(12,2,,)【答案】A002002100【解析】Q(12,2,3)(1,2,3)110(1,2,3)E12(1),即:001QPE12(1)QTAQ[PE12(1)]TA[PE12(1)]E12T(1)[PTAP]E12(1)100E21(1)010E12(1)002110100100210010010110110001002001002二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,=1-t2du(9)曲线0eu在(0,0)处的切线方程为yt2ln(2t2)【答案】y 2x【解析】dy2tln