2009年考研数学二试题与答案解析.doc

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数的可去间断点的个数为1 23 无穷多个【答案】【解析】由于,则当取任何整数时,,但可去间断点为极限存在的点,,即.(2)当时,与是等价无穷小,则【答案】【解析】,,存在,蕴含了,.(3)设函数的全微分为,则点不是的连续点 不是的极值点是的极大值点是的极小值点【答案】【解析】因可得.,又在处,,,故为函数的一个极小值点.(4)设函数连续,则【答案】【解析】的积分区域为两部分:,,将其写成一块,故二重积分可以表示为,故答案为.(5)若不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间内有极值点,无零点 无极值点,有零点 有极值点,有零点 无极值点,无零点【答案】【解析】由题意可知,是一个凸函数,即,且在点处的曲率,而,由此可得,.在上,,即单调减少,,(拉格朗日中值定理)而,由零点定理知,在上,.(6)设函数在区间上的图形为:则函数的图形为【答案】【解析】此题为定积分的应用知识考核,由的图形可见,其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数,从而可得出几个方面的特征:①时,,且单调递减。②时,单调递增。③时,为常函数。④时,为线性函数,单调递增。⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点,可见正确选项为。(7)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为. . . .【答案】B【解析】根据若分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆(8)设均为3阶矩阵,为的转置矩阵,且,若,则为. . . .【答案】A【解析】,即:二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)曲线在处的切线方程为【答案】【解析】所以所以切线方程为(10)已知,则【答案】【解析】因为极限存在所以(11)【答案】0【解析】令所以即(12)设是由方程确定的隐函数,则【答案】【解析】对方程两边关于求导有,得对再次求导可得,得当时,,,代入得(13)函数在区间上的最小值为【答案】【解析】因为,令得驻点为。又,得,故为的极小值点,此时,又当时,;时,,故在上递减,在上递增。而,,所以在区间上的最小值为。(14)设为3维列向量,为的转置,若矩阵相似于,则【答案】【解析】因为相似于,根据相似矩阵有相同的特征值,得到的特征值是,而是一个常数,是矩阵的对角元素之和,则。三、解答题:15-23小题,、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限【解析】(16)(本题满分10分)计算不定积分【解析】方法一:令得方法二:即(17)(本题满分10分)设,其中具有2阶连续偏导数,求与【解析】(18)(本题满分10分)设非负函数满足微分方程,当曲线过原点时,其与直线及围成平面区域的面积为2,求绕轴旋转所得旋转体体积。【解析】微分方程得其通解为任意常数令,则,微分方程变形为得到其中为任意常数即得到其中为任意常数又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2,于是可得从而于是,所求非负函数又由可得,在第一象限曲线表示为于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为,其中(19)(本题满分10分)求二重积分,其中。【解析】由得,