一元多项式最大公因式的矩阵求法.doc

一元多项式最大公因式的矩阵求法青海师专学报(教育科学)(EducationScience)2008年第5期文章编号:1007-0117(2008)05-0185-(青海大学基础部,青海西宁810016)摘要::一元多项式;矩阵;初等变换;最大公因式中图分类号::A1引言1求一元多项式最大公因式的方法,在现行5高等代数6教材中做了许多介绍,如辗转相除法和因式分解法等[1].本文利用矩阵的知识讨论这一问题.[2]引理1对矩阵A进行一次列初等变换,相当于A右乘一个对应的初等矩阵[1].引理2设f1(x)u1(x)+f2(x)u2(x)+,+fn(x)un(x)=d(x),且d(x)是f1(x)、f2(x)、,、fn(x)(x)一定是多项式f1(x),f2(x),,,fn(x)(x)f2(x定理1设f1(x),f2(x)是两个一元多项式,记A(x)=10,则对A(x)实施一系列初等列变01d(x)换后得B(x)=u1(x)u2(x):若f1(x)、f2(x)不全为零,则必有一个次数相对低的多项式,不妨设为f1(x),对A(x)进行初等列变换,第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上,消去f2(x)的最高项,由于f1(x)、f2(x)的次数有限,重复2d(x)上述过程,必然出现矩阵中第一行只有一个非零元,而其它均为零的情形,即B(x)=u1(x)u2(x)以上对A(x)所实施的变换,由引理1知,即存在初等矩阵P(x)=p1(x)p2(xp3(x)p4(x,****,此时f1(x)u1(x)+f2(x)u2(x)=d(x),且d(x)是f1(x)与f2(x):2008-01-09作者简介:惠菊梅(1953-),女,陕西清涧人,青海大学基础部副教授.#185#f1(x)f2(x使得1001p1(x)p2(xp3(x)p4(xd(x)=u1(x)u2(x)**因而f1(x)p1(x)+f2(x)p3(x)=d(x),p1(x)=u1(x),p3(x)=u2(x),即f1(x)u1(x)+f2(x)u2(x)=d(x).设矩阵P(x)的逆矩阵为P3-1(x)=q1(x)q2(xq3(x)q4(x*,显然P-1(x)也是初等矩阵,由于B(x)=A(x).f1(x)f2(xd(x)P(x),因而B(x)P-1q3(x)q4(x*01u2(x)f1(x),d(x)q2(x)=f2(x),从而d(x)是f1(x)与f2(x)的公因式,又由引理2可知:d(x)是f1(x)与f2(x)的最f1(x)f2(x),fn(x定理2设f1(x),f2(x),,,fn(x)为n个一元多项式,记A(x)=10,0ssss00,1,(x)=A(x),即u1(x)q1(x)q2(x=10,于是d(x)q1(x)=(x)实施一系列初等列变换后得4d(x)0,B(x)=u1(x)s*un(x)f1(x),f2(x),,,fn(x),(x)=4