线性代数4_3相似矩阵和矩阵对角化2.ppt

第三节第三节相似矩阵与矩阵相似矩阵与矩阵对角化的条件对角化的条件???相似矩阵与相似变换的概念????相似矩阵与相似变换的性质?????方阵可对角化的条件????????????????????????????.,,,,,11相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAABBPAPPnBA??.,1换矩阵的相似变变成称为把可逆矩阵相似变换进行称为对进行运算对BAPAAPPA?记作A~. 等价关系??????..22111211PAPPAPPAAP??????.,.3为正整数相似与则相似与若mBABAmm????????????????????????????.本身相似与AA.,相似与则相似与若ABBA.,,相似与则相似与相似与若CACBBA???)1()2(??????)3(????????.,21是任意常数其中kk5. 若A~B,则|A| = |B|.6. 若A~B,则A与B同时可逆或同时不可逆;当可逆时,有A-1~B-1..)()(,)(,.7相似与则是一多项式而相似与若BfAfxfBA.,,1?????????????????????????????BABABAn??相似与BABAPPP????1,使得可逆阵??PEPAPPEB??11????????PEAP????1PEAP???????注意: 该定理的逆定理不成立,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 例如:.10011011??????????????????EA和?????????????n????????????????n????21.,,,,21??????????nAn?????????????????,1PPBA??若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110?????????????Ak的多项式AEaAaAaAaAnnnn???????1110)(??.)(1PBP???.1PBPk??则PEaBaBaBaPnnnn11110)(?????????PPB1?PPB1?PPB1??PPB1?k个,,1为对角矩阵使若可逆矩阵特别地???APPP,1PPAkk???则.)()(1PPA?????有对于对角矩阵,?,21???????????????????knkkk?,)()()()(111???????????????????????? 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 .)(A?.)(,)(OAfAf?????????????????.与对角矩阵相似的情形只证明A使则有可逆矩阵与对角矩阵相似若,,PA),,,(11??ndiagAPP?????.0)(,???iifA的特征值为其中有由,1PPA???)(???PPf1)(???PffPn11)()(???????????????.,,,1可对角化则称方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对AAPPPAn?????,,1为对角阵使假设存在可逆阵???APPP??.,,,21npppPP??用其列向量表示为把??????????????????????.)(2????????????????????????????????????nAAAn