*正定矩阵一、基本概念二、正定矩阵的充分必要条件三、正定矩阵的性质1*一、基本概念定义设A为实n阶对称矩阵,如果对于任意非零向量X,二次型f=XTAX均为正数,则称二次型f为正定的,,二次型f=XTAX均为非负(非正)数,则称二次型f为半正(负)定的,其矩阵A称为半正(负)=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,*二、,使得QTAQ=,为对角矩阵,其对角线元素为,对于令即,,而是其任意特征值,X是属于的特征向量,,则|A|>*4*例判断下列矩阵是否为正定矩阵解5*6*例设A为n阶实对称矩阵,,则为的特征值,故7*,*,即存在可逆矩阵C,使得对于任意向量X≠O,由于C可逆,可从解出Y≠O,,A合同于一个对角矩阵,其对角线元素是A的特征值由于A是正定的,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,,使得A==PTP,,由于P可逆,PX≠o,故设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=
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