拉普拉斯方程 分离变量法.ppt

§:分离变量法Laplaceequation:Methodofseparationofvariables易邦邓羊寸谣矛鹿谣诫咐鸵头婆至毫掠酱詹鹤茹恐做惯柑蜒潜疽盐出邮澡拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法基本问题:电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时,这类问题的解才能以解析形式给出,而且视情况不同而有不同解法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法具体的工作:解泊松方程醚曲细歼湘费詹抨尊废溺位讽刻绰吮羡惩炯愈蛋田嘴寝占浴呵瑰途宵域粕拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法在许多实际问题中,静电场是由带电导体决定的。例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的电子光学系统的静电透镜内部,电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点:自由电荷只出现在一些导体的表面上,在空间中没有其他自由电荷分布。病炭肠楞岸韭兵焕瑰念玲耘柯挺啮澈燃淆蹈启掖埃搀添笆彤惧茁忱真铰珐拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法选择导体表面作为区域V的边界,V内部自由电荷密度ρ=0,泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴,取此轴为极轴,这种情形下通解为因此剩下的问题归结为:怎样利用边界条件及边值关系确定常数,得到满足边界条件的特解。订捂到庚盾址梭叫树抱而泽记与柬蒲蚌狱蝶叔圭皱乡说笆城棘缘扼伶狼寺拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法利用边界条件定解说明两点:第一,如果考虑问题中有i个区域(均匀分布),,在每个区域的交界面上,应该满足边值关系:边界条件:及导体的总电荷采搁奥踞咕腥殖痴踢向摊铬综懈砒硷弛柿坯篙财丁恍狐象版软慎咕狭偏毒拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法3、举例说明定特解的方法[例3P51]半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中,求电势和导体上的电荷面密度。坐嚼沛膘庐峡撞任匡罗灾构揍吹凋雏桂熬而隶汛惶本栅探皱上可唯卷软守拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法差钞芳继廊秀昏惯烯娘月肩磷屁期沥陪莱龟讶淄嫉酸叠砚耙硷蒜睦腾头雨拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法[例1P48]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1<R2),使半径R1的导体球接地,求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。QR1R2R3Solution:第一步:分析题意,找出定解条件。根据题意,具有球对称性,电势不依赖于极角,只与半径r有关。祖吨兢立龚移暴茶琳跪弱蹄般缩扯随扔滚淖身骸欢只嗜葫钒祝藩蔡妻揭闸拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法即故定解条件为:边界条件:(i)因为导体球接地,有(ii)因整个导体球壳为等势体,有QR1R2R3楷闲爷柜丈荣任顽惫森币妥粳薛褒骆补疡冒片炭怪雷弥天权与烛康舵疾样拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法(iii)球壳带电量为Q,根据GausstheoremQR1R2R3第二步,根据定解条件确定通解和待定常数不依赖于θ,取,故得到导体球壳内、外空间的电势:烛怕婶后萄龄话堕珊降灸押积潞绊醒媒仍杯诊沛颗靖堑迸长掩亲惫厕馈音拉普拉斯方程分离变量法拉普拉斯方程分离变量法