韦恩Venn图.doc

韦恩(Venn)图韦恩图,也叫文氏图,用于显示元素集合重叠区域的图示。韦恩图法是利用封闭的曲线来表示集合的一种方法,在高中课本中虽然没有给出过多的说明,但是对于初学集合的学生来说解决一些问题还是比较容易的。一、在数学中的应用:1、并集∪定义:取一个集合,设全集为I,A、B是I中的两个子集,由所有属于A或属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集,表示:A∪B。2、交集∩定义:(交就是取两个集合共同的元素)A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素,而没有其他元素的集合。A和B的交集写作“A∩B”。形式上:x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。(1)取一个集合,设全集为I,A、B是I中的两个子集,X为A和B的相交部分,则集合间有如下关系:A∩B=X,A+B=A∪B-X;(2)取一个集合,设全集为I,A、B、C是I中的两个子集,D=A∩C,E=B∩C,F=A∩B,x为A、B、C的公共部分,即x=A∩B∩C,则集合间有如下关系:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C ;A∪B∪C=A+B+C-只重合两次的-2×只重合三次的。二、运用韦恩(Venn)图解题“三层次由于图形简明、直观,因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次:识图——用图——构图。1、识图是指给出韦恩图形式,用集合的交、并及补等集合的运算表示。例1:如图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是()。A、(M∩P)∩SB、(M∩P)∪SC、(M∩P)∩ISD、(M∩P)∪IS解:阴影部分是M与P的公共部分(转化为集合语言就是M∩P),且在S的外部(转化为集合语言就是IS),故选(C)。例2:用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合,正确的表达式是()。A、(A∪B)-(A∩B)B、U(A∩B)C、(A∩UB)∪(UA∩B)D、U(A∪B)∩U(A∩B)解:阴影有两部分,左边部分在A内且B外(转化成集合语言就是A∩UB),右边部分在B内且A外(转化成集合语言就是UA∩B),故选(C)。02、用图例3:设U是全集,非空集合P、Q满足PQU,若含P、Q的一个集合运算表达式,使运算结果为空集,则这个运算表达式可以是_______(只要写出一个表达式)。解:将集合语言用韦恩图表示,极易得到其多种答案:⑴UQ∩P;⑵P∩(UP∩Q);⑶UQ∩(P∪Q);等等。例4:已知全集I=N+,集合A={x│x=2n,n∈N+},B={x│x=4n,n∈N+},则()。A、I=A∪BB、I=IA∪BC、I=A∪IBD、I=IA∪IB解:根据题意,易得BA,画出韦恩图,显然I=A∪IB,故选(C)。例5:设全集U={x|0<x≤10,x∈N+},若A∩B={3},A∩UB={1,5,7},UA∩UB={9},求A,B。分析:本题关系较为复杂,由推理的方法较难,而用韦恩图,则显得简捷。解:由U={1,2,3,…,9},据题意,画韦恩图,如右图,易得A={1,3,5,7},B={2,4,6,8}。3、构图对于某些应用题,若能构造韦恩图求解,可使问题变得简单明了。例6:某班50名学生中,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既会讲英语又会讲日语的有14人,问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人?解:设全集U={某班50