四点共圆例题及答案.doc

1例1如图,E、F、G、:E、F、G、,连接OE、OF、OG、OH.∵AC和BD互相垂直,∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中,E、F、G、H,分别是AB、BC、CD、DA的中点,即E、F、G、H四点共圆.(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥:B、E、F、∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED+∠AFD=180°,即A、E、D、F四点共圆,2∠AEF=∠∵AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°,∠CDF+∠FCD=90°,∠ADF=∠FCD.∴∠AEF=∠FCD,∠BEF+∠FCB=180°,即B、E、F、C四点共圆.(3)若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,△ABC中,BD、CE是AC、AB边上的高.∴∠BEC=∠BDC=90°,且E、D在BC的同侧,∴E、B、C、D四点共圆.∠AED=∠ACB,∠A=∠A,∴△AED∽△“四点共圆”的基本方法,至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了.【例1】在圆内接四边形ABCD中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶∠A、∠B、∠C、∠∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.∵∠A-∠C=12°,∴∠A=96°,∠C=84°.∵∠A∶∠B=2∶3,∠D=180°-144°=36°.利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题.【例2】已知:如图1所示,四边形ABCD内接于圆,CE∥:AD·BE=BC·:连结AC.∵CE∥BD,4∴∠1=∠E.∵∠1和∠2都是所对的圆周角,∴∠1=∠2.∠1=∠E.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠EBC=∠CDA.∴△ADC∽△∶BC=DC∶·BE=BC·、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件,,,现介绍如下:定理::如图2所示,:AC·BD=AB·CD+AD·:作∠BAE=∠CAD,AE交BD于E.∵∠ABD=∠ACD,即AB·CD=AC·BE.①∵∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,5∴∠BAC=∠∠ACB=∠ADE,AD·BC=AC·DE.②由①,②得AC·BE+AC·DE=AB·CE+AD·BCAC·BD=AB·CD+AD·BC这个定理叫托勒密(ptolemy)定理,△ABE∽△ACD,充分利用相似理论,,“菱形都内接于圆”对吗?命题“菱形都内接于圆”:根据圆的内接四边形的判定方法之一,如果一个四边形的一组对角互补,,,它们的内角和不一定是180°.如果内角和是180°,而且又相等,那么只可能是每个内角等于90°,既具有菱形的性质,且每个内角等于90°,,,,又是轴对称图形,,又是轴对称图形,,也无法确定菱形一定内接于圆;如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等,再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质,,“菱形都内接于圆”:如图7-90,ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形,:CM=∠MEC与∠HEB互余,∠ABE与∠HEB互余,所以∠MEC=∠∠ABE=∠ECM,所以∠MEC=∠===(即图中若M平分CD,则MH⊥AB).:如图7-91,A