巧用数学构造法解数列题.doc

巧用数学构造法解数列题永福中学:陈容丽构造法作为一种重要的数学方法,而不是一个数学概念,没有严格的定义。解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思考,但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难,甚至无从下手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向,换一个角度思考,以找到一条绕过障碍的新途径,,以问题中的数学元素为“元件”,数学关系为“框架”构造出新的数学对象或数学模型,从而使问题转化并得到简便解决的方法。它的特点是:创造性地使用已知条件,创造性地应用数学知识,极大限度地发散思维。本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。数列是高中很重要且有相当难度的一章内容,在近几年的高考中,一般有一道中档的填空题和一道压轴的解答题,所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近几年高考题中经常出现,这类题目的难度及区分度往往很大,学生不容易掌握,有时甚至无从下手。下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。一、型如(为常数且,)的数列,其本身并不是等差或等比数列,但经过适当的变形后,即可构造出一个新数列,利用这个数列可求其通项公式。 1.(为常数), 已知数列满足,(),,得,又,因此数列是首项为,公比为的等比数列,∴.注:一般地,递推关系式(p、q为常数,且p≠0,p≠1)可等价地改写成,则{}为等比数列,,可构造等差数列、等比数列求解。如(为常数),两边同除以,得,令, (1)已知数列{an}中,,,求通项.(2)已知数列满足,,(1)由条件,得,令,则,即,又,,∴数列为等比数列,故有 ,即,∴.(2)由条件,得,即,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,∴,,如型递推式, 已知数列满足,(),,则,∴,代入已知条件,得,即,令,,解得=-4,=6,因此,且,∴是以3为首项、以为公比的等比数列,故,,转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列)、非等比数列,可构造等差、、构造等差数列求解:例4 在数列中,(1)若,其中,求数列的通项公式;(2)若,(1)由条件可得,∴数列是首项为0,公差为1的等差数列,故,∴.(2)由条件可得:,∴数列是首项为,公差为2的等差数列,∴.法二、构造等比数列求解:例5 已知数列满足,,,将已知条件代入此式,整理后得,令,解得, ∴有,又,且,故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,∴,、形如的复合数列,可先构造等差数列或等比数列,再用叠加法、叠乘法、 在数列中,,,,,∴数列是以为首项,以为公比的等比数列,∴,故==…===.例7 已知数列满足,,(),:,又,因此数列是首项为、公比为的等比数列,∴,即,亦即,又,∴数列是首项为2、公差为6的等差数列,∴,∴.三、一些较为特殊的数列,可利用“取倒数” 已知数列中,,(),,,得,设,则,故是以为首项,1为公差的等差数列,∴, 已