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一、数与式的运算
一)、必会的乘法公式
【公式1】
证明:

等式成立
【例1】计算:
解:原式=
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
【公式2】(立方和公式)
证明:
说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算: (2a+b)(4a2-2ab+b2)=8 a3+b3
【公式3】(立方差公式)

(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=
(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)=
(3)=
(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=
、立方差公式进行因式分解
(1)27m3-n3=
(2)27m3-n3=
(3)x3-125=
(4) m6-n6=
【公式4】
【公式5】
【例3】计算:
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=

说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数,是非常有好处的.
【例4】已知,求的值.
解:
原式=
说明:本题若先从方程中解出的值后,再代入代数式求值,,用整体代换的方法计算,,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.
【例5】已知,求的值.
解:
原式=
①

②,把②代入①得原式=
说明:注意字母的整体代换技巧的应用.
二)、根式
式子叫做二次根式,其性质如下:
(1) (2)
(3) (4)
【例6】化简下列各式:
(1) (2)
解:(1) 原式=
*(2) 原式=
说明:请注意性质的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1)
(2) (3) (4)
解:(1) =
(2) 原式=
(3) 原式=
(4) 原式=
说明:
(1)二次根式的化简结果应满足:
①被开方数的因数是整数,因式是整式;
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:
①,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;
②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如).这时可将其化为形式(如可化为) ,转化为“分母中有根式”,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如化为,其中与叫做互为有理化因式).
有理化因式和分母有理化
有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个代数式叫做有理化因式。如与;与互为有理化因式。
分母有理化:在分母含有根式的式子里,把分母中的根式化去,叫做分母有理化。
【例8】计算:
(1) (2)
解:(1) 原式=
(2) 原式=

说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.
【例9】设,求的值.
解:
原式=
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
练习
( )
A. B. C.
,则的值是( )
A.-3 C.-9
:
(1) (2)
(3) (4)
(下列的取值范围均使根式有意义):
(1) (2)
(3) (4)
:
(1) (2)
,则的值为( ):
A. B. C. D.
,求代数式的值.
,求代数式的值.
,求的值.
:
(1) (2)
(3)
答案:
1. C 2. A
3. (1) (2)
(3) (4)
4.
5. 6. D 7.
8. 3 9. 10.
三)、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
【例10】化简
解法一:原式=
解法一:原式=
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二则是利用分式的基本性质