重积分的计算方法.docx

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分,它是定积分的推广;被积函数由一元函数f(x)推广为二元函数f(x,y),三元函数(fx,y,z);积分范围由数轴上的区域推广为平面域(二重积分)和空间域(三重积分)。我个人在学习与复习多重积分这一块时,感到多重积分的计算比较繁琐,而在日常生活中多重积分有着很多的应用。经过在图书馆查阅资料、以及老师的指点,重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分,本人结合前人的经验,在这里介绍几种常见的重积分计算方法,以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。(1)化累次积分计算法对于常见方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法,即把一个二重积分表示为一个二次积分,经过两次定积分的计算求得二重积分值,分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下:第一步:画出积分区域D的草图;第二步:按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序,并确定积分的上、下限;第三步:计算累次积分。需要强调一点的是,累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简,有些题这两种次序的难易程度能够相差很大,甚至对一种次序能够“积出来”,而对另一种次序却“积不出来”。因此,适当选择积分次序是个很重要的工作。选择积分次序的原则是:尽可能将区域少分块,以简化计算过程;第一次积分的上、下限表示式要简单,而且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。(2)变量替换法着重看下面的例子:在计算定积分时,求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时,求积的困难来自两个方面,除了被积函数的原因以外还在而且,有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。利用换元法的好处是能够把被积函数的形状进行转化,以便于用基本求积公式。于积分区域的多样性。为此,针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。(3)极坐标变换公式(主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ)下面看一个例子:计算二重积分时,要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系,如能采用适当的坐标系,往往能够收到事半功倍的效果。从积分域来考虑,一般情况下,圆形、扇形或者环形能够选用极坐标。(4)对称法第四种对称法为轮换对称,它在应用中十分重要,下面详细介绍:首先所谓轮换对称性就是,如果把f(x,y)中的x换成y,y换成x后,f(x,y)的形式没有变化,就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x^2+y^2有轮换对称性,而2x+3y没有轮换对称性(因为换完后是2y+3x,和原来的不一样)。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用,我们知道二重积分的积分区域的边界能够用方程f(x,y)=0表示,如果这里的f(x,y)具有轮换对称性,那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如∫∫x^2dxdy,积分区域为圆周x^2+y^2=1,由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy(这就是把被积函数中的x换成了y),因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy,再用极坐标计算就简单多了。下面举几个例子:对称法就是利用区域和被积函数的对称性简化积分。在做题时,先考虑区域和被积函数有无对称性,有时一看就知道积分为零,有时可使积分化简。否则的话,就会把时间花在无谓的计算上,有时