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重积分的计算方法
重积分包括二重积分与三重积分,它就是定积分的推广;被积函数由一元函数f(x)推广为二元函数f(x,y),三元函数(fx,y,z);积分范围由数轴上的区域推广为平面域(二重积分)与空间域(三重积分)。我个人在学习与复习多重积分这一块时,感到多重积分的计算比较繁琐,而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点,重积分的计算方法还就是有规律可循的。为了更好的应用重积分,本人结合前人的经验,在这里介绍几种常用的重积分计算方法,以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。
一. 二重积分的计算

(1) 化累次积分计算法
对于常用方法我们先瞧两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法,即把一个二重积分表达为一个二次积分,通过两次定积分的计算求得二重积分值,分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下:
第一步:画出积分区域D的草图;
第二步:按区域D与被积函数的情况选择适当的积分次序,并确定积分的上、下限;
第三步:计算累次积分。
需要强调一点的就是,累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简,有些题这两种次序的难易程度可以相差很大,甚至对一种次序可以“积出来”,而对另一种次序却“积不出来”。所以,适当选择积分次序就是个很重要的工作。
选择积分次序的原则就是:尽可能将区域少分块,以简化计算过程;第一次积分的上、下限表达式要简单,并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。
(2) 变量替换法
着重瞧下面的例子:
在计算定积分时,求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时,求积的困难来自两个方面,除了被积函数的原因以外还在而且,有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。
利用换元法的好处就是可以把被积函数的形状进行转化,以便于用基本求积公式。
于积分区域的多样性。为此,针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。
(3)极坐标变换公式(主要就是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ)
下面瞧一个例子:
计算二重积分时,要从被积函数与积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系,如能采用适当的坐标系,往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑,一般情况下,圆形、扇形或者环形可以选用极坐标。
(4)对称法
第四种对称法为轮换对称,它在应用中十分重要,下面详细介绍:
首先所谓轮换对称性就就是,如果把f(x,y)中的x换成y,y换成x后,f(x,y)的形式没有变化,就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x^2+y^2有轮换对称性,而2x+3y没有轮换对称性(因为换完后就是2y+3x,与原来的不一样)。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用,我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示,如果这里的f(x,y)具有轮换对称性,那么被积函数中的x与y互换后积分结果不变。例如∫∫x^2dxdy,积分区域为圆周x^2+y^2=1,由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy(这就就是把被积函数中的x换成了y),因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+