《重积分的计算方法》.ppt

第二节 二重积分的计算方法
第八章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
2022/8/16
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设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
第二节 二重积分的计算方法
第八章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
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1
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
上连续,
复行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.
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牛顿 – 莱布尼兹公式
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
证:
根据定理 2,
故
因此
得
记作
定理
函数 ,
则
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定积分的换元法
定理1 设函数
函数
满足:
1)
2)
则
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定积分的分部积分法
定理2
则
证:
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一、利用直角坐标计算二重积分
曲顶柱体的底为
任取
平面
故曲顶柱体体积为
截面积为
截柱体的
设曲顶柱体的顶为
X型区域
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同样, 若曲顶柱的底为
则其体积可按如下两次积分计算
Y型区域
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为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
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均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
当被积函数
补充说明
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解法1
D 是 X- 型区域，
例3. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
及直线
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解法2
例3. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
及直线
这是 Y- 区域，
画出积分区域的图形
先对 x 后对 y 积分,
显然解法2比解法1好 ！
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例4. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解 画积分区域图形，
因为
则
若先对 x 积分，
的原函数不能用初等函数表示，因此
改用另一种顺序的累次积分，于是有
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
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例5. 设 D 是由直线
及
围成的区域
(图21-6), 试计算:
的值.
解 若用先对 y、后对 x 的积分, 则有
由于
的原函数无法求得, 因此改用另一种顺序
的累次积分来计算:
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解: 积分域由两部分组成:
视为Y–型区域 , 则
例6. 交换下列积分顺序
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练习. 交换下列积分顺序
⑴
(2)
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例7 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为
则所求体积为
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二、利用极坐标计算二重积分
对应有
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线  =常数, 分划区域D 为
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即
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二重积分化为二次积分的公式（1）
则
设
区域特征如图
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特别地, 对
若 f ≡1 则可求得D 的面积
二重积分化为二次积分的公式（2）
区域特征如图
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二重积分化为二次积分的公式（3）
区域特征如图
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思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
答:
问  的变化范围是什么?
(1)
(2)
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其中
解: 在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
例10 计算
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注:
利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的广义积分公式
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