数值分析分段低次插值.ppt

数值分析数值分析我们已经知道插值有多种方法:Lagrange 插值、Newton插值、Hermite插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段,而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么,是否插值多项式的次数越高,越能够达到这个目的呢?现在我们来讨论一下这个问题。第五节分段低次插值数值分析数值分析我们已经知道:f(x)在n+1个节点xi(i=0,1,2,…,n) 上的n次插值多项式Pn(x) 的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知,当f(x)充分光滑时,若余项随n增大而趋于0时,这说明可用增加节点的方法达到这个目的,那么实际是这样吗?????????niinnxxnfxPxfxR011)()!()()()()()(?lim ( ) ( )nnP x f x???是否有 ,即要讨论收敛性问题。数值分析数值分析插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数f(x) 的值相等,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近f(x) , 有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge):1901年龙格(Runge) 给出一个例子:201( ) ( 1 1),1 251 ( [ 1,1] ),( ) ( )knjn jjf x xxkx nnx xP yl?? ??????? ???对于函数取等距节点即将区间进行等分得到龙格(Runge)现象数值分析数值分析插值多项式情况,见图:取n=6和n=10从图中可见,P10(x)仅在区间[-,]内能较好地逼近f(x),而在其于位置, P10(x)与f(x)的值相差很大,越靠近端点,,()= P10()=()=(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛,实际上,严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的,而且高阶插值还是不稳定的。数值稳定性从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,。(1)分段线性插值(2)分段二次插值与分段三次插值(3)分段Hermite插值(4) 分段三次样条插值因此,实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢?数值分析数值分析定义设f(x)是定义在[a,b]上的函数,在节点a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,的函数值为y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn,若函数?(x)满足条件(1) ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是线性插值多项式; (2) ?(xi )= yi, i=0,1,2,…,n(3) ?(x)在区间[a , b]上连续;则称?(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。、,?(x)在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是一次插值多项式;11 1 11 1( ) ( ) ,i ii i i ii i i ix x x xx L x y y x x xx x x x??? ?? ?? ?? ? ???? ?分段线性插值曲线图:y=f(x)x0x1x2…xnXY数值分析数值分析0 10 1......( )i ni ntx x x xy y y yf x已知数据表用线性插值求例:的近似值。3 40 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5:......tnntx x xx x x