构建新数列巧解递推数列[本节重点]:构建新数列思想方法解决一些递推数列中的问题[典例练讲]:通过构建新数列进行代换,使递推关系式简化,这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列,使问题由难变易,所用的即换元和化归的思想例1、数列中,,。:一般先通过构建新数列求出通项,然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列,然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式例2、设,,求证::这类题把递推数列与数论知识结合在一起,我们可以根据题目中的信息,构建新数列,找到新的递推关系式直接解决,或者再进行转化,结合数论知识解决例3、设数列满足,:一般通过构建新数列求出通项,再结合数论知识解决,也可用数学归纳法直接证明例4、设数列满足,,对一切,有,:这类题初看难以入手,但能通过构建新数列求出通项,问题也就迎刃而解了例5、设数列和满足,,且①②求证:是完全平方数。:例6、个正数排成n行n列,……其中每一行数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都有相等,已知,求。(1990年全面上有2009个圆,其中任意两个圆相交于两点,任意三个圆都不共点,试问这2009个圆把平面分成多少个部分?思考:试问n条直线最多能将平面分成多少部分?又n个平面最多将空间分成多少个部分?
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