第八章常微分方程组数值解.ppt

在工程和科学技术的实际问题中,常需求解微分方程,但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程(例如线性常系数常微分方程等)可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难,而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。大多数情况下,常微分方程只能用近似方法求解。这种近似解法可分为两大类:一类是近似解析法,如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法,它给出方程在一些离散点上的近第八章常微分方程数值解法似值。其中x是质量,m是离开平衡位o的距离,t为时间,c为弹簧系数。例如:弹簧一质量系统的振动问题经一定的简化后可用一个二阶常微分方程来描述。在具体求解微分方程时,需具备某种定解条件,微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。定解条件有两种:一种是给出积分曲线在初始点的状态,称为初始条件,相应的定解问题称为初值问题。另一类是给出积分曲线首尾两端的状态,称为边界条件,相应的定解问题称为边值问题。mxxoc我们现在讨论常微分方程的数值解法。先从最简单的一阶常微分方程的初值问题出发开始讨论。由常微分方程理论可知:只要上式中的函数f(x,y)在区域G={a≤x≤b,-∞<y<∞}内连续,且关于y满足Lipschitz条件,即存在与x,y无关的常数L,使至于初值问题(1)的数值解法,常采用差分方法,即把一个连续的初值问题离散化为一个差分方程来求解。具体地,将(1)离散化后,求找其解y=y(x)在一系列离散点下面分析均假定满足上述条件。对于初值问题(1),先将其离散化,即把[a,b]区间n等分,得各离散节点因为初值问题中的初始条件已知,即可利用已知的来求出下一节点处的近似值;再从来求如此继续,直到求出为止。这种用按节点的排列顺序一步一步地向前推进的方式求解的差分算法称为“步进式”或“递推式”算法,它是初值问题数值解法的各种差分格式的共同特点。因此,只要能写出由前几步已知信息来计算的递推公式(即差分格式),即可完全表达这种算法。若将和的近似值分别记为和,则得:(3)这就是Euler公式(格式)。利用它可由初值出发逐步算出。这类形式的方法也称为差分方法。定义:如果局部截断误差为,则这种数值算法的精度为p阶,故Euler格式的精度为一阶。从几何意义上来看,如图,当假定为准确值,即在的前提下来估计误差,这种截断误差称为局部截断误差。由(2)、(3)知Euler公式在处的局部截断误差为:由方程(1)知,其积分曲线y=f(x)上任一点(x,y)的切线斜率都等于函数f(x,y)的值。从初始点(即点)出发,作积分曲线y=y(x)在点上的切线(其斜率为)与直线相交与点(即点),得到作为的近似值,则有yOxy=f(x)相比较知,这时用切线近似代替了曲线段点近似代替了点,近似代替了近似代替了。递推继续从点出发,作一斜率为的直线与直线相交于点(即点),得到作为的近似值。…如此直到点。这样得出一条折线近似代替积分曲线,当步数越多时,由于误差的积累,折线可能会越解:为便于进行比较,我们后面将用多种数值方法求解上述初值问题。这里先用Euler公式,此处具体格式为:取步长为h=,计算结果略。由结果可见Euler方法的精度很差。