用等量代换求面积.doc

用等量代换求面积用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化, 找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。分析与解:阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。因为三角形 ABC 与三角形 DEF 完全相同,都减去三角形 DOC 后,根据差不变性质,差应相等, 即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等, 所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形 OEFC 的面积。直角梯形 OEFC 的上底为 10-3=7 (厘米),面积为( 7+10 )×2÷ 2=17 (厘米 2)。所以,阴影部分的面积是 17 厘米 2。例2 在右图中,平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米,直角三角形 ECB 的直角边 EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10 厘米 2,求平行四边形 ABCD 的面积。分析与解:因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 厘米 2,都加上梯形 FGCB 后,根据差不变性质, 所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行 ABCD 比直角三角形 ECB 的面积大 10 厘米 2,所以平行四边形 ABCD 的面积等于 10 ×8÷ 2+10=50 (厘米 2)。例3在右图中, AB=8 厘米, CD=4 厘米, BC=6 厘米,三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘米 2。求 ED 的长。分析与解:求 ED 的长,需求出 EC 的长;求 EC 的长,需求出直角三角形 ECB 的面积。因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘米 2, 这两个三角形都加上四边形 FDCB 后,其差不变,所以梯形 ABC D 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米 2 。也就是说,只要求出梯形 ABCD 的面积,就能依次求出三角形 EC B 的面积和 EC 的长,从而求出 ED 的长。用等量代换求面积梯形 ABCD 面积=( 8+4 )×6÷ 2=36 (厘米 2), 三角形 ECB 面积=36-18=18 (厘米 2), EC=18 ÷6× 2=6 (厘米), ED=6-4=2 (厘米)。例4下页上图中, ABCD 是7×4的长方形, DEFG 是 10 ×2的长方形,求三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差。分析:直接求出三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差,不太容易做到。如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。解法一:连结 B,E(见左下图)。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形 BEO ,则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。所求为 4×( 10-7 )÷ 2-2 ×( 10-7 )÷ 2=3 。解法二:连结 C,F(见右上图)。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形 CFO ,则原来的问题转化为求三角形