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Gabor 变换连续 Gabor 变换例子测不淮原理连续 Gabor 变换性质与重构离散 Gabor 变换为什么引入 Gabor 变换?连续 Gabor 变换是信号时-频分析的一个重要工具。?在许多应用中,给定一个信号 f(t ) ,最感兴趣的问题是在局部时间信号的频率含量。标准的 Fourier 变换就是信号 f 的频率的一种表示,但不能由 Ff 得到关于信号高频脉冲时间定位的信息。时间定位最初是用开窗得到。 dttfe Ff ti)() )((???????? Gabor 变换简史? Gabor 在 1046 年,为了由信号的 Fourier 变换提取局部息,引入了时间局部化的窗函数,得到了窗口 Fourier 变换。由于窗口 Fourier 变换只依赖于部分时间的信号,所以,现在窗口 Fourier 变换又称为短时 Fourier 变换,这个变换又称为 Gabor 变换。?称为 Gabor 变换是因为这类变换是 1946 年 Gabor 首先引入的,虽然他当时引入的现在称之为 Gabor 变换并不是现今这种形式。而只是窗函数取 Gauss 函数的特殊情形。窗函数?窗函数定义非平凡函数,且还有,则称 g(t ) 是一个窗函数。窗函数 g(t ) 的中心与半径分别定义为而窗函数的宽度为 2 。)()( 2RLtg?)()( 2RLt tg??t g? g??????? 212 22}|)(|{ || || 1: dttgtg t?? 2122 2|)(|)( || || 1:???????? dttgttg g连续 Gabor 变换?连续 Gabor 变换函数,关于窗函数的连续 Gabor 变换定义为?连续 Gabor 变换事实上是对 f作一个好的定位切片之后,即给函数 f开窗后再取它的 Fourier 变换。?如果取,则?给出了 f在时间窗(这时窗的中心在) 的局部信息。 dtebtgtfbfGb Gf ti???????????)()(), }({), )(()()(btgtf?)(:)( ,btgetW tib???????????? b bWf dttWtfb Gf , ,,)()(), )(( ???)( 2RLf?)()( 2RLtg?), )((?b Gfbt??],[ g gbtbt???????? Gauss 函数作出的 Gabor 变换?如果取 Gauss 函数作为窗函数,即导出 Gabor1946 年的变换?f的 Gabor 变换的集合精确分解,从而给出信号 f的局部谱信息由令ω=0 ,则所以???? 4 22 1)()( tetgtg ??? dtebtgtfbfG ti???????????)()(), )(( ?????? 4 2)()( ????????? e dtetgg ti???????????1)()( dttg dtbtg ????? db bfG), )((??????????????? dte db btgtf ti??)()(???????)( ?)(??f dtetf ti )}, )( {(??bfG )( ??f Gabor 变换的例子?对于 Gauss 函数,容易求得, 并且对于每个α>0 ,有= 这时窗函数的窗宽度为 2 。?f (t )=1 ,我们得到?,得)(tg ?0??t ?g??)(tg ??) exp( )(titf????????????)( ?)(), )((????ge dtebtgb Gf biti dtbtgeb Gf it)(), )(( )(???????????)( ?)} ( exp{ bg ib??????例子(续) ?f (t)= δ(t),得?,得?,而g(t )=1 得)()()(), )(( bg dtebtgtb Gf ti???????????? dtebtgttb Gf ti???????????)()(), )(( 0)( 0 0btge ti??????????? dttita b Gf )} ( exp{ ), )(( 22??) exp( )( ?} exp{ 2 24 22 a a tif dteta ???????????????)()( 0tttf???} exp{ )( 22tatf??几个通常的窗函数?矩形窗函数?三角窗函数? Hanning 窗函数??????其它 ttg,0 10,1)(???????????其它 tt tttg,0 121,)1(2 210,2)(???????其它 tttg,0 10,2)2 cos 1()( ?窗函数例子(续) ? Hamming