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Gabor 变换半个世纪前, Gabor 提出了一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方法,这种方法被称为 Gabor 展开,而 Gabor 展开系数的积分表示公式即是 Gabor 变换。要实现 Gabor 变换,主要是要解决两个基本问题:如何选择 Gabo r 基函数;如何计算 Gabor 展开系数。下面就自己对 Gabor 变换的一些基本理论的理解简述如下。一个信号在同一时间会有不同的频率,因此,分析信号应在时间- 频率二维空间上进行,即分析信号的时频分布。平稳信号是稳定的和有规律的,因此只从时域或频域一维空间上分析也足够了。但对非平稳信号,就必须用时频二维空间来分析。要从时频二维空间分析信号,首先必须构造同时用时间和频率表示的时间函数。 Gabor 在 1946 年提出了这样一种构造函数——复谱图: dtettgtettgttF t jw t jw g)()()( ),(),( 0 *000 , ???????????????其中)(t?为信号,)(tg 为窗函数,?????1)( dttg ,我们构造的是)(t?与)(tg 的时间平移)( 0ttg?和频率调制形式 tje ??的复数共轭的内积。),( 00,??tF g 其实是)()( 0 *ttgt??的 Fourier 变换。利用求逆公式,可以从复谱图中重构原信号)(t?: 00000,2 1)(),()(??????ddtettgtFt tjg??????????重构信号)(t?,并不需要知道全部复谱图,只需知道复谱图在一组网格点),,( 00nmn mT t、????为整数的值即可,其中?2??T (临界采样): 复谱图在网格点),(?n mT 的取值 mnf 为: dte mT tgtf t jn T mn ????????)()( *1?对)(t?和)(tg 以T间隔采样,并定义下面三组 Fourier 变换对: ????????? m T jme mT tt ???)(),(????det mT t T jm??????),()( 1???????? m T jme mT tgtG ??)(),(???detG mT tg T jm?????),()( 1)(),( tnTmjn mn meftF ??????????????????? dtd etFf tnTmjT mn????????)(1),( 经推导可得: ),(),(),( *???tGttF??于是, mnf 已知→),(?tF 可知→),(?t?可得→)(t?可求出。连续 Gabor 展开(临界采样):),(),(),(???tGtAt??,又可得一 Fourier 变换对: )(),( tnTmjn mn meatA ??????????????????? dtd etAa tnTmjT mn????????)(1),( 经推导后得: t jn n mn meTmmtgaTmt ?????????????????])([)(?该式可简写成: )()(tgat mn n mn m????????????,其中 t jn mne mT tgtg ???)()( , 亦即将信号得时频平面),(ft 转换成两个离散采样网格参数),(nm 的平面。 mna 称为 Gabor 展开系数, )(tg mn称为),(nm 阶