初中数学竞赛题汇编(代数部分1).docx

22552222223322553322222222243223420142342014234567892010201120122013201423452342010234初中数学竞赛题汇编(代数部分1)江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m=m+1,n=n+1,且m≠n,求m+n的值。解:由已知条件可知,m、n是方程x-x-1=0两个不相等的根。∴m+n=1,mn=-1∴m+n=(m+n)-2mn=3或m+n=m+n+2=3又∵m+n=(m+n)(m-mn+n)=4∴m+n=(m+n)(m+n)-(mn)(m+n)=11例2已知解:设,则u+v+w=1……①……②由②得将①两边平方得即uv+vw+wu=0u+v+w+2(uv+vw+wu)=1所以u+v+w=1即例3已知x+x+x+x+1=0,那么1+x+x+x+x+……x=。解:1+x+x+x+x+…x=(1+x+x+x+x)+(x+x+x+x+x)+…+(x+x+x+x+x)=(1+x+x+x+x)+x(1+x+x+x+x)+…+x(1+x+x+x+x)=0例4:证明循环小数证明:设=x…①将①两边同乘以100,得为有理数。222②-①,得例5:证明…②99x=-。即x=。证明(反证法):假设不是无理数,则必为有理数,设=(p、q是互质的自然数),两边平方有p=2q…①,所以p一定是偶数,设p=2m(m为自然数),代入①整理得q=2m,所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾,所以是有理数,即为有理数。不例6:解:;;。例7:化简(1);(2)(3);(4);;。解:(1)方法1方法2设,两边平方得:由此得解之得或所以。(4)设,两边平方得:由此得解之得所以=+1+(5)设则所以333322242422(6)利用(a+b)=a+b+3ab(a+b)来解答。设两边立方得:即x-6x-40=0将方程左边分解因式得(x-4)(x+4x+10)=0因(x+4x+10)=(x+2)+6>0所以(x-4)=0,即x=4所以=4例8:解:用构造方程的方法来解。设原式为利用根号的层数是无限的特点,有,两边平方得即继续两边平方得x-4x+4=2+x,即x-4x-x+2=0,左边分解因式得(x+1)(x-2)(x+x-1)=0x1=-1,x2=2,x3=。求得因0<x<2,所以x=-1、x=2、x=应舍去,所以x=例9:设的值。解:而因此即=。的整数部分为x,小数部分为y,试求所以x=2,y=22222222432432322222222=。例10:已知x+y+z=3a(a≠0,且x、y、z不全相等),求的值。解:设x-a=u,y-a=v,z-a=w,则=且有已知有u+v+w=0,将u+v+w=0两边平方得u+v+w+2(uv+vw+wu)=0由于x、y、z不全相等,所以u、v、w不全为零,所以u+v+w≠0,故==例11:已知x=解:求的值。所以x-4=-(x-4)=3,x-8x+13=0,所以,原式分子x-6x-2x+18x+23=(x-8x+13x)+(2x-16x+26x)+(x-8x+13)+10=x(x-8x+13)+2x(x-8x+13)+(x-8x+13)+10=10,原式分母x-8x+15=(x-8x+13)+2=2,所以==5。例12:已知==求的值解:方法1当a+b+c≠0时,据等比定理有====1