初中数学竞赛题汇编(代数部分1).doc

初中数学竞赛题汇编(代数部分1)江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2=m+1,n2=n+1,且m≠n,求m5+n5的值。解:由已知条件可知,m、n是方程x2-x-1=0两个不相等的根。∴m+n=1,mn=-1∴m2+n2=(m+n)2-2mn=3或m2+n2=m+n+2=3又∵m3+n3=(m+n)(m2-mn+n2)=4∴m5+n5=(m3+n3)(m2+n2)-(mn)2(m+n)=11例2已知解:设,则u+v+w=1……①……②由②得即 uv+vw+wu=0将①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1因此u2+v2+w2=1即例3已知x4+x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+x4+……x=。解:1+x+x2+x3+x4+…x=(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x+x+x+x+x)=(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+x(1+x+x2+x3+x4)=0例4:证明循环小数为有理数。证明:设=x…①将①两边同乘以100,得…②②-①,得99x=-=。例5:证明是无理数。证明(反证法):假设不是无理数,则必为有理数,设=(p、q是互质的自然数),两边平方有p2=2q2…①,因此p一定是偶数,设p=2m(m为自然数),代入①整理得q=2m2,因此q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾,因此不是有理数,即为有理数。例6:;;。解:例7:化简(1);(2)(3);(4);(5);(6)。解:(1)方法1方法2设,两边平方得:由此得解之得或因此。(2)(3)(4)设,两边平方得:由此得解之得因此=+1+(5)设则因此(6)利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)来解答。设两边立方得:即x3-6x-40=0将方程左边分解因式得(x-4)(x2+4x+10)=0因(x2+4x+10)=(x+2)2+6>0因此(x-4)=0,即x=4因此=4例8:解:用构造方程的方法来解。设原式为利用根号的层数是无限的特点,有,两边平方得即继续两边平方得x4-4x2+4=2+x,即x4-4x2-x+2=0,左边分解因式得(x+1)(x-2)(x2+x-1)=0求得x1=-1,x2=2,x3=。因0<x<2,因此x=-1、x=2、x=应舍去,因此x=即=。例9:设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值。解:而因此x=2,y=因此=。例10:已知x+y+z=3a(a≠0,且x、y、z不全相等),求的值。解:设x-a=u,y-a=v,z-a=w,则=且有已知有u+v+w=0,将u+v+w=0两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于x、y、z不全相等,因此u、v、w不全为零,因此u2+v2+w2≠0,故==例11:已知x=求的值。解:因此x-4=-(x-4)2=3,x2-8x+13=0,因此,原式分子x4-6x3-2x2+18x+23=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10,原式分母x2-8x+15=(x2-8x+13)+2=2,因此==5。例12:已知==求的值解:方法1当a+b+c≠0时,据等比定理有