例谈构造封闭函数.doc例谈封闭函数的构造吴峻峰443000湖北宜昌夷陵中学wjf9904@问题函数是定义在无限集合D上的函数,并且满足对于任意的,.(1)若,则;(2)试写出满足下面条件的一个函数:存在,(只需写出一个满足条件的函数).分析:根据题目要求,组成的仅含两个元素的集合中,这两个元素可能随着n的增大交替出现(称为A型);也可能先出现一个,再就稳定在另一个元素上(称为B型).例如,函数,取,属于B型,体现出恒常性;函数取,或,属于A型;,函数是定义在无限集合D上的函数,并且满足对于任意的,.若存在,使得由组成的集合有且仅有m(m>1)个元素,Ⅰ用分段函数构造例1令,可取任何实数,,可取大于2的任何实数,:让第一段上面的函数值取在第二段的范围内,,让第一段上面的函数值0取在第二段的范围内,:,让第一段上面的函数值0取在第二段的范围内,Ⅱ用待定系数法求单一解析式表达的函数(以下简称单解析式函数)设符合题意,:记,,且,,如分式函数、一次函数、,,,,因为只有两个方程,因此在设函数解析式时,:记,,且,?:对于A型:假设存在,使得,,且,,.则,,∴无实数解.∴:假设存在,使得,,且,,.,即,显然无实数解.∴不是B型封闭函数.(有解即函数有不动点).一个函数如果是B型二元封闭函数,则有解,记作,则必有除之外的另一解,,,但因为不存在使得,,,,但恰好是的解,∴:一个函数不是n元封闭函数,但可能是n+,以下函数也均符合要求:,可取任何实数.,可取不等于0的任何实数.,可取任何自然数
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