怎样计算姓名:学号班级:数学与应用数学4班实验报告实验目的:自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值,并学会计算的近似值的方法。实验环境:Mathematica软件实验基本理论和方法:方法一:数值积分法(单位圆的面积是,只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值)其具体内容是:以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系,则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形,由曲线()及坐标轴围成,它的面积是,算出了S的近似值,它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图图一扇形G中,作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0,1](也就是扇形在x轴上的半径)分成n等份(n=20),相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分()。每部分是一个曲边梯形:它的左方、右方的边界是相互平行的直线段,类似于梯形的两底;上方边界是一段曲线,因此称为曲边梯形。如果n很大,每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段,从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积;梯形的高(也就是它的宽度)h=1/n,两条底边的长分别是和,于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值:n越大,计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S,而4T就越接近的准确值。方法二:泰勒级数法其具体内容是:利用反正切函数的泰勒级数计算。方法三:蒙特卡罗法其具体内容是:单位正方形的面积=1,只要能够求出扇形G的面积S在正方形的面积中所占的比例,就能立即得到S,从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值,方法是在正方形中随机地投入很多点,使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等,看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0,1]内均匀分布的随机数,在Mathematica中语句是Random[]产生两个这样的随机数x,y,则以(x,y)为坐标的点就是单位正方形内的一点P,它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。实验内容、步骤及其结果分析:问题1:在方法一中,取n=1000,通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。分析:图一中的扇形面积S实际上就是定积分。与有关的定积分很多,比如的定积分就比的定积分更容易计算,更适合用来计算。梯形公式:设分点,…,将积分区间[a,b]分成n等分,即,。所有的曲边梯形的宽度都是h=(b-a)/n。记,则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积。将所有这些梯形面积加起来就得到这就是梯形公式。辛普森公式:仍用分点()将区间[a,b]分成n等分,直线x=()将曲边梯形分成n个小曲边梯形,再做每个小区间的中点。将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)(x)近似的看作经过三点(x,f(x))(x=,,)的抛物线段,则可求得,其中。于是得到这就是辛普森公式。取n=1000,10000,用梯形公式和辛普森公式计算=和=的近似值(取20位有效数字)。将所得的结果与的准确值相比较。其步骤是:(1)打开Mathematica软件;(2)分别输入下列语句:运行后结果如下图:结果分析:从上面结果可以看出,所得到的结果与的准确值非常接近。问题2:将x=1带入方法二的级数中得到。在上面的级数中取n=20000计算的近似值,观察所得的结果和所花的时间。其步骤是:(1)打开Mathematica软件;(2)分别输入下列语句:运行后,结果如下图:结果分析:根据实验结果,花费的时间很长,结果准确性较差。问题3:取n=1000,10000,50000,按方法三所说的随机投点的方法来计算的近似值;对不同的n,观察所得结果的精确度,你发现什么规律?并将精确度与数值积分法作比较。其步骤是:(1)打开Mathematica软件;(2)分别输入下列语句:运行后,结果如下图:结果分析:对不同的n,当n的值越大时,所得到的结果越精确,越接近的近似值。而此方法显然没有数值积分法及泰勒级数法精确。附录(源程序)以下所示的程序在实验中是按顺序进行的。.
数学实验：怎样计算圆周率 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
