数值分析_插值法.ppt

上页上页上页下页下页下页在工程技术与科学研究中,常会遇到函数表达式过于复杂而不便于计算,且又需要计算众多点处的函数值;或已知由实验(测量)得到的某一函数 y=f (x)在区间[a,b]中互异的 n +1 个x i ( i =0, 1, ... , n)处的值 y i=f(x i ) (i =0,1,..., n), 需要构造一个简单易算的函数P(x)作为 y=f (x)的近似表达式 y=f(x)≈P(x ) , 使得 P(x i )= f(x i ) = y i ( i=0,1, ..., n ) 这类问题就称为插值问题,P(x)称为插值函数, P(x)一般取最简单又便于计算得函数。第2章插值法上页上页上页下页下页下页 x 0x 1x 2x 3x 4x P(x)?f(x)f(x) y=f(x)≈P(x ) , 使得 P(x i )= f(x i ) = y i ( i=0,1, ..., n ) 其它点 P(x)?f(x ) = y 上页上页上页下页下页下页 插值问题设 y= f (x ) 是区间[a , b ]上的一个实函数, x i ( i =0, 1, ... , n)是[a,b]上n +1 个互异实数,已知 y=f (x ) 在x i 的值 y i=f(x i ) (i =0,1,..., n), 求一个次数不超过 n的多项式 P n(x)使其满足 P n(x i )=y i ( i=0,1, ..., n ) (5-1) 这就是多项式插值问题. 引言上页上页上页下页下页下页其中 P n(x ) 称为 f(x ) 的n次插值多项式, f(x ) 称为被插函数, x i(i =0,1, ..., n)称为插值节点, (x i, y i ) (i =0,1, …,n ) 称为插值点, [a,b ] 称为插值区间, 式(5-1) 称为插值条件。从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线 y=P n(x ), 使它通过已知的 n +1 个点(x i,y i ) ( i=0,1, …,n ),并用 P n(x)近似表示 f(x ). 上页上页上页下页下页下页即 P (x) =a 0 +a 1 x+a 2x 2 +...+a nx n 其中 a i为实数,就称 P(x ) 为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值,若 P(x)为分段的多项式,就称为分段插值,若 P(x)为三角多项式,就称为三角插值,本章只讨论插值多项式与分段插值。本章主要研究如何求出插值多项式,分段插值函数,样条插值函数;讨论插值多项式 P(x)的存在唯一性、收敛些及误差估计等。上页上页上页下页下页下页定理 1设节点 x i (i =0,1, …,n)互异, 则满足插值条件 P n(x i )=y i ( i=0,1, ..., n )的次数不超过 P n(x) =a 0 +a 1 x+a 2x 2 +...+a nx n (5-2) 则由插值条件式 P n(x i )=y i ( i=0,1, ..., n ) 可得关于系数 a 0 ,a 1 , …,a n的线性代数方程组 插值多项式的存在性和唯一性上页上页上页下页下页下页??????????????????? n nnnn nn nnyxaxaa yxaxaa yxaxaa???? 10 11110 00010此方程组有 n +1 个方程, n +1 个未知数, 其系数行列式是范德蒙( Vandermonde )行列式: ( 5-3 ) 2 0 0 0 2 1 1 1 211 ( ) 0 1 nn j i j i n n n n x x x x x x x x x x x ?? ?????? ????由克莱姆法则知方程组 (5-3) 的解存在唯一. 证毕。上页上页上页下页下页下页考虑最简单、最基本的插值问题. 求n次插值多项式 l i(x) (i =0,1, …,n ), 使其满足插值条件 0, ( ) ( 0, 1, , ) 1, i j j i l x j n j i ??? ????? 基函数可知, 除x i点外, 其余都是 l i(x)的零点, 故可设 Lagrange 法1736 -1813 0 ( ) ( ) ( ) i