第一章 高等代数多项式 PPT.ppt

第一章高等代数多项式多项式推荐教材:《高等代数简明教程》(上、下册)蓝以中著《高等代数》(上、下册)丘维声著《高等代数学》(第2版)姚慕生、吴泉水著推荐习题集:《高等代数精选题解》杨子胥著《高等代数中的典型问题与方法》李志慧、李永明著《高等代数题解精粹》钱吉林著2多项式第一章多项式3绪论与准备知识一、复数◆复数的概念◆复数的实部与虚部;模与幅角◆复数的三角表示,欧拉公式◆代数基本定理◆的根准备知识二、数域的概念●在有理数范围内不能进行因式分解,但在实域内就可以分解。●在实数范围内没有根,但在复数域内就有一对共轭复根。1、数的认识过程自然数整数有理数实数复数2、数的范围对问题的影响NZQRC多项式§1数环和数域§1数环和数域数是数学中的一个基本概念,人们对数的认识经历了一个长期的发展过程,由自然数到整数、有理数,然后是实数到复数。数学中的许多问题都和数的范围有关,数的范围不同,对同一问题的回答可能也不相同。例如在实数范围内没有根,但在复数域内就有一对共轭复根。在有理数范围内不能进行因式分解,但在实域内就可以分解。6多项式§1数环和数域我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以及全体复数等,它们具有一些不同的性质,但也有很多共同的性质,在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。一个数集中,数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中,则称该数集P对这个运算是封闭的。自然数集N对加、乘运算封闭,对减、除不封闭。整数集Z对加、减、乘运算封闭,对除不封闭。有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。7大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问的,可以询问和交流8多项式§1数环和数域根据数集对运算的封闭情况,可以得到两类数集:数环和数域。一、数环定义1:若P是由一些复数组成的非空集合,若数集P对加、减、乘三种运算都封闭,即对a,b∈P,总有a+b,a-b,a•b∈P,则称数集P是一个数环。例如:整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。例1除了以上数环外,是否还有其他数环?有没有最小数环?例2一个数环是否一定包含0元?除零环外,是否还有只包含有限个元素的数环?9多项式§1数环和数域例3证明是包含的最小数环。二、数域定义2:若P是由一些复数组成的集合,其中包含0和1,如果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭,则称数集P是一个数域。定义3:若P是一个数环,如果①数集P内含有一个非零数②对a,b∈P,且b≠0,有a/b∈P,则称数集P是一个数域。例如:有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。10