第一章 高等代数多项式ppt课件.ppt

高等代数
高 等 代 数
Higher Algebra
湖南大学数学与计量经济学院
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多项式
推荐教材：
《高等代数简明教程》(上、下册) 蓝以中著
《高等代数》(上、下册) 丘维声著
《高等代数学》(第2版) 姚慕生、吴泉水著
推荐习题集：
《高等代数精选题解》 杨子胥著
《高等代数中的典型问题与方法》李志慧、李永明著
《高等代数题解精粹》 钱吉林著
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第一章 多项式
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绪论与准备知识
一、复 数
◆ 复数的概念
◆ 复数的实部与虚部；模与幅角
◆ 复数的三角表示，欧拉公式
◆ 代数基本定理
◆ 的根
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准备知识
二、 数 域 的 概 念
● 在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。
● 在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。
1、数的认识过程
自然数
整数
有理数
实数
复数
2、数的范围对问题的影响
N Z Q R C
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§1 数环和数域
§1 数环和数域
数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期
的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。
数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一
问题的回答可能也不相同。例如
在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。
在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
内就可以分解。
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§1 数环和数域
我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以
及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同
的性质，在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。
一个数集中，数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。
若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集
P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。
自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。
整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。
有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除
(除数不为0)四种运算都封闭。
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§1 数环和数域
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
数环和数域。
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、
减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b，
a•b∈P，则称数集P是一个数环。
例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。
例 1 除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？
例 2 一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含
有限个元素的数环？
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§1 数环和数域
例 3 证明
是包含
的最小数环。
二、数域
定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如
果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭，
则称数集P是一个数域。
定义3：若P是一个数环，如果① 数集P内含有一个非零数
② 对a，b∈P，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个
数域。
例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。
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§1 数环和数域
例 4 证明
是一个数域。
例 5 设
证明P2，P是一个数域，而且P是包含P1和P2的最小数域。
例 6 证明任何数域都包含有理数域Q。
例 7 在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？
例 8 设F1和F2是两个数域，证明：
1）F1∩F2是一个数域；
2）F1∪F2是数域的充分必要条件是F1⊆F2或F2⊆F1。
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