amc10美国数学竞赛讲义.doc

AMC中的数论问题1:Remembertheprimebetween1to100:23571113171923293137414347535961677173798389912:Perfectnumber::6,28,:::1634820894744:=i=1kpiri5:Supposethataandbareintegerswithb=≤r<|b|anda=bq+:(1)monDivisor:Letgcd(a,b)=max{d∈Z:d|aandd|b}.Foranyintegersaandb,wehavegcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(±a,±b)=gcd(a,b−a)=gcd(a,b+a).Forexample:gcd(150,60)=gcd(60,30)=gcd(30,0)=30(2)monmultiple:Letlcm(a,b)=min{d∈Z:a|dandb|d}.(3)Wehavethat:ab=gcd(a,b)lcm(a,b)7:CongruencemodulonIf,thenwecallacongruencebmodulomandwerewrite.(1)Assumea,b,c,d,m,k∈Z(k>0,m≠0).Ifa≡bmodm,c≡dmodmthenwehave,,(2)Theequationax≡b(modm)hasasolutionifandonlyifgcd(a,m):Howtofindtheunitdigitofsomespecialintegers(1)HowmanyzeroattheendofForexample,when,LetNbethenumberzeroattheendofthen(2),when9:Palindrome,suchas83438,=121,222=484,114=14641(1):(2)Howtocreateapalindrome?:ButwhetheranyintegerhasthisPropertyhasyettoprove(3):,:FeaturesofanintegerdivisiblebysomeprimenumberIfniseven,then2|n一个整数的所有位数上的数字之和是3(或者9)的倍数,则被3(或者9)整除一个整数的尾数是零,则被5整除一个整数的后三位与截取后三位的数值的差被7、11、13整除,则被7、11、13整除一个整数的最后两位数被4整除,则被4整除一个整数的最后三位数被8整除,则被8整除一个整数的奇数位之和与偶数位之和的差被11整除,(1)(2)(3)Forexample:E