泰勒公式 数学毕业论文.doc

泰勒公式 数学毕业论文.doc泰勒公式及其应用[摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幕级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.[关键词]泰勒公式;极限;不等式;敛散性;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,,从屮搜集了大量的习题,通过认真演算,其屮少数难度较大的题目Z证明来白相应的参考文献,,所以,⑴若函数/在勺存在阶导数,则有f(X)=f(兀0)+/十J(X—兀0)+/J(X—^0)2+…+厶¥(兀_观)”+。((兀一兀°)”)n\这里-心n为佩亚诺型余项,称⑴\当无产0时,(1)式变成/(兀)=/(())+冷+ 兀2+…十/_字兀“+0(兀“),称此式为(带有佩亚诺余项的)⑵若函数/在勺某邻域内为存在肓至”+1阶的连续导数,则/(兀)=/(兀o)+fg)(兀—兀0)+才繆(兀一九。)2+.・・+竺卑(兀一勺)〃+心⑴,(2)这里2! n\Rn(x)为拉格朗口余项Rn(x)=7—(>?)(x+xor+,,其中§在兀与勺之间,称(2)为/在勺的泰勒(z?+1)!(0} f⑴⑹当x°=0时,(2)式变成广(兀)=f(O)+f(O)x+l丄F+...+」^x"+/?〃(x)2! n\称此式为(带有拉格朗LI余项的):宀》+兰+・・・+兰+! nl(/?+!)!⑵2+1)!+0(;严2)C0SX=2 4 6 1 +(—I)2! 4!6!丄(W+O(F)・ln(l+x)=x-—+- +(—1)〃-—+o(xn^).2 3 n+1 =1+X+F+…+x"+o(xn)1-x(1+hm(m-1)2 x+…2!(介值定理)设函数/在闭区间[Q,列上连续,且/(。)工/(方),若“。为介于/(«)与/0)Z间的任何实数,则至少存在一点X。G(Q,b),使得/(兀0)=“0・,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限, -空分析:此为Y型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将COSX和E2分别用泰勒展开式0代替, 4 2(-—)2解由COSX=1-—+—4-O(X4),e2=1-—d o(兀4)得2!4! 2 2r2—J(右—肖)八心)=一护+0(小,-丄x4+O(x4)lim 12112于是..cosx-e2lim ,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,•,证明s\nx>x--/(x)=sinx-x+-x3,xo=O,则/■(0)=0,/(0)=0,f(0)=0,fU)=l-cosxJ-(0)>,其屮〃二N得/(X)=0+0+0+^—,其屮0V&,sinx>x——,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,£(+-Jln孕):直接根据通项去判断该级数是止向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到In匕已二ln(l+-),若将其泰勒展开为-的幕的形式,开二次方后恰与-匸相呼应,n n n y/n会使判敛容易进行.,n+[In n解因为=ln(l+—)=— J+—7 -nn2tr3〃,n+{In 2n2所以1"32/81因为X—收敛,(x)在[d,+oo)上二阶可导,且/(cz)>(),/(tz)<0,对xw(d,+oo)J<(),证明:/(%)=0在(Q,+oo):这里f(x)是抽象函数,育接讨论/(x)=0的根有困难,由题设f(x)在[d,+oo)(a)>0,f(a)<0,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指