函数方程的几种方法.doc

函数方程三、求解函数方程的几种方法:函数方程的变化多,求解技巧性很强,往往涉及不同领域的数学知识,特别是附加了条件的函数,更是五花八门,各有巧妙。在高数数学各级竞赛中,都有可能会遇到函数方程的问题,在这里我们介绍几种典型的求解函数的方法。:(1)解:令;则,将此代入(1)可得:或。(2)此时(1)及(2)并无法解出;所以我们再令;则,将此代入(1)式则可得,即。(3)将(1),(2)及(3)联立,则可得到一个以为独立变数的三元一次方程组;我们利用消去法来解此问题.(1)+(3)-(2)可得:。.(2007越南数学奥林匹克)设b是一个正实数,试求所有函数,使得对任意实数x、y均成立。解:将原方程变形为:,(x,①令,则①等价于,(x,②在②中令得这表明。1)若,则;2)若,在②式中令得:,即。③考虑函数,它的导函数,则,于是可知有两根和,于是③式等价于或。,c为满足的常量)假设存在使,则,∴或1,∴矛盾,因此,∴综上知:说明:代换法是解函数方程最基本方法,很多函数方程中所特有的性质是通过代换法去发现的。本题也是通过代换法打开了解题的思路。,试解函数方程。解:由用归纳法得:。当时,有。①若,,令,得,在①式中令得:因定义在实数集R上,n是偶数时,必有,这样,∴若m为正整数,利用上式得:,在原方程中,令有:,因单调不恒为0,∴。在原方程中,令有(n,,则有,即,(又因为有意义,∴。这样,我们便在有理数集求得了函数方程。又因单调,不能恒为1,则为指数函数。当为无理数,设且ai,bi为无限接近于的有理数,则由单调知,∴原方程的解为。说明:柯西法是由解柯西方程而归纳出来的方法。,设(1)(2)。求函数。解:令由(2)得。①将代入①,化简得。②当时,有,③由②得即。④由③、④有:。⑤在⑤中,令,得。⑥对于任意的有理数在(2)中,令得。由⑤、⑥有由此得,:。解:设,则并且,,于是原方程变为:。①令得:,②令得:,③令得:,④由①②③④得:,∴说明:利用函数迭代解决函数方程问题有立竿见影的效果。,使得对任意,都有解:令,则有,从而。在上式中用代替x,则可知,于是有,从而有或。验证可知,这两个函数都是方程的解。,找出使:.解:当时,设也在中,也在中,那么以后都用即,,对于我们有:验证::在应用迭代法时,几个常用的迭代结果是有用的:,..(2008年IMO第4题)求所有的函数满足对所有的正实数,x,y,z,都有:解:令得:,对任意令,,得:,去分母整理:,所以对每个有或者。①若存在b,,使得,,则由①知,b,c都不等于1。且,,令,,,则,所以。又因或者;若则矛盾;若,则矛盾。所以经检验满足。,满足且对任意有,:在原函数方程中,令且利用得整理得。令得:……,将上述各式相加,:当是定义在自然数集上的函数(实际上是通项为的数列)时,可根据题中所给的函数方程,通过取特殊值得到关于的递推关系,,且有:求解:令