概率论讲义(茆诗松).doc

第二章随机变量及其分布教学目的与教学要求:理解随机变量的概念;掌握离散和连续随机变量的描述方法;理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质;会利用概率分布计算有关事件的概率;掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等;会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。教学重点:不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。教学难点:概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施:理论部分的教学多采用讲授法,注意思想方法的训练,计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数:20学时教学过程:§(1)掷一颗骰子,出现的点数:1、2、…、6;(2)个产品中的不合格品个数:0、1、2、…、;(3)某商场一天来的顾客数:0、1、2、…;(4)某种型号电视机的寿命:。§,常用大写、、等表示;随机变量的取值用小写字母、、等表示。注意:(1)随机变量是样本点的函数,其定义域为,其值域为,若表示掷一颗骰子出现的点数,则是不可能事件;(2)若为随机变量,则、、…均为随机事件,即:;(3)注意以下一些表达式:(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量。两类随机变量:若随机变量可能取值的个数为有限个或可列个,则称为离散随机变量;若随机变量的可能取值充满某个区间,则称为连续随机变量,其中可以是,可以是。、、为离散随机变量;而为连续随机变量。§,对任意实数,称为随机变量的分布函数,且称服从,记为,有时也可用表明是的分布函数。:(1)单调性:是定义在整个实数轴上的单调非减函数,即对任意的,有;(2)有界性:,有,且(3)右连续性:是的右连续函数,即对任意的,有即:。注:(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件;(2)有了分布函数的定义,可以计算:等。§,如果的所有可能取值是、、…、、…,则称取的概率为的概率分布列或简称为分布列,记为。分布列也可用下列形式表示:…………分布列的基本性质:(1)非负性:(2)正则性:。注:(1)上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件;(2)离散随机变量的分布函数为:。求离散随机变量的分布列应注意:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率。对离散随机变量的分布函数应注意:(1)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值。:012求的分布函数?解:。,求的分布列?解:的分布列如下:§,所以对连续随机变量,有,从而无法仿离散随机变量用来描述连续随机变量的分布;,如果存在实数轴上的一个非负可积函数,使得对任意实数,有则称为连续随机变量,称为的概率密度函数,简称为密度函数。密度函数的基本性质:(1)非负性:;(2)正则性:。注:(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件;(2);(3)是上的连续函数;(4);(5);(6)当在点可导时,,当在点不可导时,。离散随机变量与连续随机变量对比:离散随机变量连续随机变量分布列:(唯一)密度函数:(不唯一)且点点计较为阶梯函数,即:为连续函数,即:,求(1)常数;(2)?解:(1);(2)。,求?解:。,的密度为已知事件和独立,且,求常数?解:因为,且、独立,得再由解得:由此得因此从中解得。§§(分赌本问题)若甲乙两赌徒赌技相同,各出赌注50元,无平局,谁先赢3局,则获全部赌注,当甲赢2局、乙赢1局时,中止了赌博,问如何分赌本?赌本有两种分法:(1)按已赌局数分:则甲分总赌本的、乙分总赌本的;(2)按已赌局数和再赌下去的“期望”分:设再赌下去,则再赌两局必分胜负,共四种情况:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。于是,甲的所得是一个可能取值为0或100的随机变量,其分布列为:0100甲的“期望”所得是:。这就是数学期望的由来,又称期望或均值,数学期望是一种加权平均。§,则称为随机变量的数学期望,简称期望或均值。若