定积分 (1).ppt

定积分定积分定义及性质? baxxfd)( 一、问题引入矩形面积 a hha?( ) y f x ???A A曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线( ) ( ( ) 0) y f x f x ? ?以及两直线 bxax??, 求其面积 A ., 轴及x 所围成, 问题解决办法 x ab yo 1x ix 1?ix Li? ; ; 。 1x ix 1?ixx ab yo 解决步骤:1)[a , b ] 中任意插入 n –1 个分点 bxxxxxa nn????????1210?],[ 1iiixx ???用直线 ixx?将曲边梯形分成 n个小曲边梯形; 2) i个窄曲边梯形上任取作以],[ 1iixx ?为底,)( if?为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积, iA?得)()( 1??????? iiiiiixxxxfA?),,2,1,ni?? i? 3) 近似和.???? ni iAA 1???? ni iixf 1)(? 4) ,}{ max 1 inix?????则曲边梯形面积????? ni iAA 1 0 lim ?????? ni iixf 1 0)( lim ??x ab yo 1x ix 1?ix i? ab x o 二、定积分定义,],[)(上定义在设函数 baxf 的若对],[ba 任一种分法, 210bxxxxa n???????, 1???? iiixxx令任取,],[ 1?? iiixx? i?时只要 0}{ max 1????? inix? i ni ixf???1)(?总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf 在区间],[ba 上的定积分, 1x ix 1?ix? baxxfd)( 即?? baxxfd)( i ni ixf????1 0)( lim ??此时称 f ( x ) 在[ a , b ] 上可积. 记作?? baxxfd)( i ni ixf????1 0)( lim ??积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba 定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即? baxxfd)(?? battfd)(?? bauufd)( 定积分的几何意义:Axxfxf ba??? d)(,0)( 曲边梯形面积??? baxxfxfd)(,0)( 曲边梯形面积的负值 ab yx 1A 2A 3A 4A 5A 54321d)(AAAAAxxf ba??????各部分面积的代数和 A?o1x y n i 定理 1. 上连续在函数],[)(baxf.],[)( 可积在baxf 定理 2.,],[)( 上有界在函数 baxf 且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略) 10 2xx?解:将[0,1] n等分, 分点为 n iix?),,1,0(ni?? n ix 1??, n ii??取),,2,1(ni??.],[)( 可积在baxf 2xy?iiiixxf??? 2)(??则 3 2n i? o1 x y n i ii nixf???)( 1???? niin 1 231)12 )(1(6 11 3????nnnn) 12 )( 11(6 1nn ??? i ni ixxx???????1 20 10 2 lim d????? n lim 3 1?) 12 )( 11(6 1nn ?? 2xy? 211 ( 1)(2 1) 6 ni i n n n ?? ???