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1 函数值域十一种求法 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 x 1y?的值域解: ∵0x?∴0x 1?显然函数的值域是: ),0()0,( ????? x3y??的值域解: ∵0x?3x3,0x?????故函数的值域是: ]3,[ ?? 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。]2,1[x,5x2xy 2?????的值域解:将函数配方得: 4)1x(y 2???∵]2,1[x??由二次函数的性质可知:当 x=1 时, 4y min?,当 1x??时, 8y max ?故函数的值域是: [4,8] 3. 判别式法例 2 2x1 xx1y????的值域解:原函数化为关于 x的一元二次方程 0x)1y(x)1y( 2????( 1)当 1y?时, Rx?0)1y )(1y(4)1( 2???????解得: 2 3y2 1??(2)当 y=1 时, 0x?,而???????2 3,2 11 故函数的值域为??????2 3,2 1 2 )x2(xxy???的值域解:两边平方整理得: 0yx)1y(2x2 22????(1) ∵Rx?∴0y8)1y(4 2?????解得: 21y21????但此时的函数的定义域由 0)x2(x??,得 2x0??由0??,仅保证关于 x 的方程: 0yx)1y(2x2 22????在实数集 R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0, 2]上,即不能确保方程( 1)有实根,由0??求出的范围可能比 y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为??????2 3,2 1 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵2x0??0)x2(xxy?????21y,0y min????代入方程( 1) 解得: ]2,0[2 2222x 41????即当 2 2222x 41???时, 原函数的值域为: ]21,0[?注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 6x5 4x3??值域解:由原函数式可得: 3y5 y64x???则其反函数为: 3x5 y64y???,其定义域为: 5 3x?故所求函数的值域为: 3 3 ( , ) ( , ) 5 5 ?? ??? 3 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。例 1e 1ey x x???的值域解:由原函数式可得: 1y 1ye x???∵0e x?∴01y 1y???解得: 1y1???故所求函数的值域为)1,1(?例 3x sin x cos y??的值域解:由原函数式可得: y3x cos x sin y??,可化为: y3)x(x sin 1y 2????即1y y3)x(x sin 2????∵Rx?∴]1,1[)x(x sin????即11y y31 2????解得: 4 2y4 2???故函数的值域为?????????4 2,4 2 6. )10 x2(1x log 2y 3 5x??????的值域解:令 1